Спинорная структура

на т-мерном многообразии М, расслоение спин-реперов, - главное расслоение [img: http://localhost:8080/file/051946-47.jpg] над Мсо структурной группой Spin (n)(см. Спинорная группа). накрывающее нек-рое главное расслоение [img: http://localhost:8080/file/051946-48.jpg] кореперов со структурной группой SO (n). Последнее условие означает, что задан тождественный по базе сюръективныи гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051946-49.jpg] главных расслоении [img: http://localhost:8080/file/051946-50.jpg] согласованный с естественным гомоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/051946-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-52.jpg] Говорят, что С. с. [img: http://localhost:8080/file/051946-53.jpg] подчинена рцмановой метрике g на М, определяемой расслоением [img: http://localhost:8080/file/051946-54.jpg] С точки зрения теории G-структур С. с. есть обобщенная G-структура со структурной группой G=Spin(n), рассматриваемой вместе с неточным представлением [img: http://localhost:8080/file/051946-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-56.jpg] Аналогичным образом определяются С. с., подчиненная псевдоримановой метрике, и С. с. на комплексном многообразии, подчиненная комплексной метрике. Необходимые н достаточные условия существования С. с. на Мсостоят в ориентируемости многообразия Ми обращении в нуль класса Штифеля - Уитни W2(M). При выполнении этих условий число неизоморфных С. с. на M, подчиненных данной римановой метрике, совпадает с порядком группы [img: http://localhost:8080/file/051946-57.jpg] (см. [6]). Пусть С - комплексификация Клиффорда алгебры пространства [img: http://localhost:8080/file/051946-58.jpg] относительно квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/051946-59.jpg] Алгебра Собладает неприводимым представлением в пространстве. над [img: http://localhost:8080/file/051946-60.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/051946-61.jpg] к-рое определяет представление группы Spin [img: http://localhost:8080/file/051946-62.jpg] в пространстве S. Всякая С. с. [img: http://localhost:8080/file/051946-63.jpg] на Мзадает ассоциированное векторное расслоение [img: http://localhost:8080/file/051946-64.jpg] со слоем S, называемое расслоением спиноров. Риманова связность на Мопределяет каноничегким образом связность в расслоении [img: http://localhost:8080/file/051946-65.jpg] В пространстве Г (S)гладких сечений расслоения [img: http://localhost:8080/file/051946-66.jpg] (спинорных полей) действует линейный дифференциальный оператор Dпорядка 1 - оператор Дирака, к-рый локально определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/051946-67.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051946-68.jpg] - ковариантные производные по направлениям ортонормированных векторных полей si, а умножение элементов из Sна векторы из [img: http://localhost:8080/file/051946-69.jpg] соответствует определенной выше структуре С-модуля на S. Спинорные поля, аннулируемые оператором D, иногда наз. гармоническими. Если Мкомпактно, то [img: http://localhost:8080/file/051946-70.jpg] причем эта размерность не меняется при конформной деформации метрики [4]. Если при этом риманова метрика на Мимеет положительную скалярную кривизну, то kerD = 0 (см. [4], [5]). С. с. в пространстве-времени (М, g) (т. е. в четырехмерном лоренцевом многообразии) наз. С. с., подчиненная лоренцевой метрике g. Существование С. с. в некомпактном пространстве-времени. эквивалентно абсолютной параллелизуемости многообразия М(см. [3]).Пространство спиноров Sкак модуль над спинорной группой Spin [img: http://localhost:8080/file/051946-71.jpg] разлагается в прямую сумму двух комплексных двумерных комплексно-сопряженных SL (2, G)-модулой [img: http://localhost:8080/file/051946-72.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-73.jpg] Этому разложению соответствует разложение [img: http://localhost:8080/file/051946-74.jpg] расслоения спиноров, причем тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/051946-75.jpg] отождествляется с комплексификацией касательного расслоения ТМ. Спинорные поля в пространстве-времени, являющиеся собственными функциями оператора Дирака, описывают свободные поля частиц со спином 1/2 напр. электронов.