Сплайн-аппроксимация

приближенное представление функции или приближенное восстановление функции из заданного класса по неполной информации (напр., по значениям на сетке) с помощью сплайнов. Как и в классич. теории приближения функций, изучаются линейные методы С.-а., включая сплайн-интерполяцию, наилучшие методы, а также аппроксимации классами нелинейных сплайнов, напр. сплайнами с нефиксированными узлами. Наилучшие приближения сплайнами. Изучаются вопросы существования, единственности, характеристич. свойства наилучшего сплайна (н. с.) (см. Наилучшего приближения элемент), а также порядки, асимптотика и точные верхние грани уклонений сплайнов от заданного класса функций. Сплайны с фиксированными узлами не образуют Чебышева систему, поэтому в С[ а, b]нет единственности н. с. и характеристич. свойства н. с. сложнее, чем характиристич. свойства Наилучшего приближения многочлена (см. [8]).Однако в L[ а, b]для подкласса непрерывных, функций н. с., если они склеиваются из гладких функций, образующих систему Чебышева на [ а, b], обладают свойствами единственности [2]. Сплайны с фиксированной гладкостью, но с нефиксированными узлами (предполагается, что число узлов не превосходит заданного числа) не образуют замкнутого множества, поэтому здесь может не существовать н. с. Порядок приближения может быть охарактеризован следующим результатом [6]: [img: http://localhost:8080/file/051946-128.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051946-129.jpg] - полиномиальный сплайн степени тс узлами в точках сетки [img: http://localhost:8080/file/051946-130.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-131.jpg] - модуль гладкости порядка kв Lq[ а, b]и функция f(x)имеет абсолютно непрерывную (l-1)-ю производную и l- юиз [img: http://localhost:8080/file/051946-132.jpg] i=0,1,..., l-1. При [img: http://localhost:8080/file/051946-133.jpg] в (1) можно iзаменить на i-1 и убрать множитель [img: http://localhost:8080/file/051946-134.jpg] Более слабые аналоги неравенства (1) получены для многомерных сплайнов. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/051946-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-136.jpg] -пространство Соболева) и [img: http://localhost:8080/file/051946-137.jpg] - совокупность сплайнов (степени не выше kпо каждой переменной) с равномерными узлами и шагом hи область [img: http://localhost:8080/file/051946-138.jpg] удовлетворяет строгому условию конуса (см. Вложения теоремы),то [img: http://localhost:8080/file/051946-139.jpg] Для равномерной сетки [img: http://localhost:8080/file/051946-140.jpg] и класса [img: http://localhost:8080/file/051946-141.jpg] порядок правой части в (1) при [img: http://localhost:8080/file/051946-142.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/051946-143.jpg] Если рассматривать приближение сплайнами степени тгладкости m-1 с нефиксированными узлами, число к-рых не превосходит п, то за счет выбора узлов можно добиться [7], чтобы порядок аппроксимации был равен п -m-1+i. Для наилучшего равномерного приближения нек-рых классов периодических функций полиномиальными сплайнами с равномерными узлами имеется ряд окончательных результатов. Напр., для класса [img: http://localhost:8080/file/051946-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051946-145.jpg] - выпуклый модуль непрерывности, подсчитана верхняя грань уклонения от сплайнов степени r[4]. Она совпадает с соответствующим поперечником этого класса. Изучаются также наилучшие приближения сплайнами при дополнительных ограничениях на его старшую Производную [13]. В связи с изучением наилучших квадратурных формул естественно возникает задача наилучшего приближения специальной функции (b - t)r (см. Моносплайн). Линейные методы приближения сплайнам и начали изучать раньше наилучших приближении. При этом преимущественно изучались приближения. интерполяционными сплайнами (и. с.) (см. [1], [3], [5]). И. с. часто дают тот же порядок приближения, что и наилучшие; это является одним из преимуществ перед интерполированием многочленами. Так, если функция f(х)имеет непрерывную r-ю производную на [img: http://localhost:8080/file/051946-146.jpg] то для приближения полиноми- адьными и. с. Sn(x,h) степени [img: http://localhost:8080/file/051947-1.jpg] с равномерными узлами интерполяции xi=ih, [img: http://localhost:8080/file/051947-2.jpg] и узлами сплайна справедлива оценка [6]. [img: http://localhost:8080/file/051947-3.jpg] При изучении и. с. с произвольными узлами в качестве параметра приближения выбирается максимальное расстояние между узлами интерполяции; обычно узлы интерполяции и узлы сплайна тесно связаны между собой. В приложениях наиболее широко используются полиномиальные и. с. S3(x)3-й степени - кубические сплайны. Это связано с тем, что построение таких сплайнов сводится в большинстве случаев к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, имеющей доминирующую главную диагональ. Решение таких систем легко реализуется на ЭВМ. Кроме того, если функция f(х)имеет непрерывную k-ю, [img: http://localhost:8080/file/051947-4.jpg] производную на [ а, b], то имеют место оценки [img: http://localhost:8080/file/051947-5.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051947-6.jpg] - узлы интерполяции. При k=1, 2 константа с>0 не зависит от f и от сеток [img: http://localhost:8080/file/051947-7.jpg] При k=0 и k=3 на последовательность сеток [img: http://localhost:8080/file/051947-8.jpg] налагаются дополнительные ограничения. Аналог этого результата имеет место также для многомерных кубических сплайнов, а также для сплайнов большей степени. И. с. нечетной степени обладает рядом экстремальных свойств. Напр., среди всех функций, имеющих абсолютно непрерывную (т -1)-ю производную на [ а, b] и m-ю производную из L2 [ а, b]и принимающих в точках {xi}, a<x0<x1<...<xn<b, заданные значения {yi}, полиномиальный сплайн S2m-1(x) с узлами { х i}, принимающий в точках {xi} значения { у i}, имеющий непрерывную (2т-2)-ю производную на [ а, b]и совпадающий на [а, х 0)и (х п, b] смногочленами степени не выше т -1, имеет наименьшую норму т -й производной в L2 [ а, b]. Это свойство послужило основой для многочисленных обобщений сплайнов. Для нек-рых классов функций верхняя грань уклонений от и. с. совпадает с верхней гранью уклонений для н. с., напр. для класса [img: http://localhost:8080/file/051947-9.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051947-10.jpg] Сплайны играют важную роль в задаче сглаживания [3], [5] сеточной функции, заданной с погрешностью. С помощью сплайнов строятся базисы [5] и ортонормированные базисы [9], Лебега константы к-рых ограничены. Методы С.-а. тесно связаны с численным решением уравнений в частных производных методом конечных элементов, в основе к-рого лежит Ритца метод при специальном выборе базисных функций. В методе конечных элементов в качестве базисных функций выбираются кусочно полиномиальные функции, т. е. сплайны. Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/051947-11.jpg] - ограниченная область из [img: http://localhost:8080/file/051947-12.jpg] к-рую можно разложить на конечное число правильных треугольных подобластей Т i, [img: http://localhost:8080/file/051947-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051947-14.jpg] Для фиксированного iмногочлен [img: http://localhost:8080/file/051947-15.jpg] определяется из условий [img: http://localhost:8080/file/051947-16.jpg] где функция f(р)непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/051947-17.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051947-18.jpg] - вершины треугольника Т i, а [img: http://localhost:8080/file/051947-19.jpg] - середины его сторон. Пусть S(р) = Р i (р) при [img: http://localhost:8080/file/051947-20.jpg] i=0, 1,..., N. Если [img: http://localhost:8080/file/051947-21.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051947-22.jpg] где h - длина стороны треугольника Ti и с-абсолютная постоянная.