Стационарной фазы метод

-метод вычисления асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций: [img: http://localhost:8080/file/051955-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051955-33.jpg] - большой параметр, [img: http://localhost:8080/file/051955-34.jpg] - ограниченная область, функция S(x) (фаза) действительная, функция f(х) комплексная, и [img: http://localhost:8080/file/051955-35.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051955-36.jpg] т. е. f финитна, и фаза S(x)не имеет стационарных точек (т. е. точек, в к-рых S' (х) = 0) на носителе supp f, то [img: http://localhost:8080/file/051955-37.jpg] Поэтому основной вклад в асимптотику интеграла (*) при [img: http://localhost:8080/file/051955-38.jpg] вносят точки стационарной фазы и граница [img: http://localhost:8080/file/051955-39.jpg] Вкладом от изолированной стационарной точки x0 н от границы наз. соответственно интегралы [img: http://localhost:8080/file/051955-40.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051955-41.jpg] вблизи точки x0 и [img: http://localhost:8080/file/051955-42.jpg] не содержит других стационарных точек, [img: http://localhost:8080/file/051955-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051955-44.jpg] в нек-рой окрестности границы. При п=1, [img: http://localhost:8080/file/051955-45.jpg] имеем: [img: http://localhost:8080/file/051955-46.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/051955-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051955-48.jpg] если x0 - внутренняя точка отрезка [img: http://localhost:8080/file/051955-50.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051955-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051955-49.jpg] Полностью исследован случай, когда п=1, фаза Sимеет конечное число стационарных точек, все они конечной кратности, и функция f имеет нули конечной кратности в этих точках и на концах отрезка [img: http://localhost:8080/file/051955-52.jpg] Получены асимптотич. разложения. Исследован случай, когда функции f,. имеют степенные особенности: напр., [img: http://localhost:8080/file/051955-53.jpg] где f1, S1 - гладкие при x=0 функции, [img: http://localhost:8080/file/051955-54.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/051955-55.jpg] - невырожденная стационарная точка (т. е. [img: http://localhost:8080/file/051955-56.jpg] Тогда вклад от точки x0 равен [img: http://localhost:8080/file/051955-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051955-58.jpg] - сигнатура матрицы S" (x0). Имеется также асимптотич. ряд для [img: http://localhost:8080/file/051955-59.jpg] (формулы для вклада [img: http://localhost:8080/file/051955-60.jpg] в случае гладкой границы см. [5]). Если [img: http://localhost:8080/file/051955-61.jpg] - стационарная точка конечной кратности, то (см. [6]) [img: http://localhost:8080/file/051955-62.jpg] где rk - рациональные числа, [img: http://localhost:8080/file/051955-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051955-64.jpg] Исследованы вырожденные стационарные точки (см. [3], [4]). Исследован случаи, когда фаза [img: http://localhost:8080/file/051955-65.jpg] зависит от действительного параметра [img: http://localhost:8080/file/051955-66.jpg] и при малых [img: http://localhost:8080/file/051955-67.jpg] имеет две близкие невырожденные стационарные точки. В этом случае асимптотика интеграла [img: http://localhost:8080/file/051955-68.jpg] выражается через функции Эйри (см. [5]). Имеется операторный вариант С. ф. м.: [img: http://localhost:8080/file/051955-69.jpg] где А- инфинитезимальный оператор сильно непрерывной группы [img: http://localhost:8080/file/051955-70.jpg] ограниченных на оси [img: http://localhost:8080/file/051955-71.jpg] операторов, действующих в банаховом пространстве В, и f(x),S (х) - гладкие функции со значениями в В[9]. Если функции аналитические, то С. ф. м. есть частный случай перевала, метода.