Стохастическое дифференциальное уравнение

для процесса [img: http://localhost:8080/file/051959-126.jpg] по винеровскому процессу [img: http://localhost:8080/file/051959-127.jpg] - уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/051959-128.jpg] где a(t, X)и b(t, X) - неупреждающие функционалы, а случайная величина [img: http://localhost:8080/file/051959-129.jpg] играет роль начального значения. Различают два понятия решения С. д. у.- сильное и слабое. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051959-130.jpg] - вероятностное пространство с выделенным на нем неубывающим семейством [img: http://localhost:8080/file/051959-131.jpg] -алгебр [img: http://localhost:8080/file/051959-132.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051959-133.jpg] - винеровский процесс. Говорят, что непрерывный стохастич. процесс [img: http://localhost:8080/file/051959-134.jpg] есть сильное решение С. д. у. (1) с коэффициентами сноса a(t, X), диффузии b(t, X)и начальным значением [img: http://localhost:8080/file/051959-135.jpg] если для каждого t>0 с вероятностью единица [img: http://localhost:8080/file/051959-136.jpg] где подразумевается, что входящие в (2) интегралы определены. Первый общий результат относительно существования и единственности сильного решения С. д. у. вида [img: http://localhost:8080/file/051959-137.jpg] был получен К. Ито (К. Но). Им было показано, что если для каждого t>0 функции a(t, x)и b(t, x)удовлетворяют по хусловию Липшица и растут не быстрее, чем линейно, то существует непрерывное решение [img: http://localhost:8080/file/051959-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051959-139.jpg] уравнения (3) и оно единственно в том смысле, что если [img: http://localhost:8080/file/051959-140.jpg] - другое непрерывное решение, то [img: http://localhost:8080/file/051959-141.jpg] Для случая [img: http://localhost:8080/file/051959-142.jpg] измеримость и ограниченность коэффициента (вектора) сноса a(t, x)обеспечивает существование и единственность сильного решения. Уравнение [img: http://localhost:8080/file/051959-143.jpg] вообще говоря, не имеет сильного решения для любого ограниченного неупреждающего функционала a(t, X). При рассмотрении понятия слабого решения С. д. у. (1) не фиксируются заранее вероятностное пространство [img: http://localhost:8080/file/051959-144.jpg] с семейством s-алгебр [img: http://localhost:8080/file/051959-145.jpg] винеровский процесс [img: http://localhost:8080/file/051959-146.jpg] и случайная величина [img: http://localhost:8080/file/051959-147.jpg] а фиксируются лишь неупреждающие функционалы a(t, X), b(t, X), определенные для непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/051959-148.jpg] функция распределения F(х)(так сказать, начального значения). Тогда под слабым решением С. д. у. (1) с заданными a(t, X), b(t, X) и F(x) понимается набор объектов [img: http://localhost:8080/file/051959-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051959-150.jpg] - винеровский процесс относительно [img: http://localhost:8080/file/051959-151.jpg] связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/051959-152.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/051959-153.jpg] Иногда термин лслабое решение