Субдифференциал

выпуклой функции [img: http://localhost:8080/file/051962-58.jpg] в точке х 0, определенной на пространстве X, находящемся в двойственности с пространством Y- множество в Y, определяемое соотношением: [img: http://localhost:8080/file/051962-59.jpg] Напр., С. нормы [img: http://localhost:8080/file/051962-60.jpg] в нормированном пространстве Xс сопряженным X* имеет вид [img: http://localhost:8080/file/051962-61.jpg] С. выпуклой функции f в точке х 0 является выпуклым множеством. Если f непрерывна в этой точке, то С. непуст и компактен в топологии [img: http://localhost:8080/file/051962-62.jpg] С. выпуклой функции играет роль, подобную роли производной в классич. анализе. Для него справедливы теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для производной. Напр., если f1 и f2 - выпуклые функции и в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/051962-63.jpg] по крайней мере, одна из функций непрерывна, то [img: http://localhost:8080/file/051962-64.jpg] для всех х(теорема Моро - Рокафеллара). С. опорной функции выпуклого множества Аиз X, компактного в топологии [img: http://localhost:8080/file/051962-65.jpg] совпадает с самим множеством А. Это выражает двойственность между выпуклыми компактными множествами и выпуклыми замкнутыми однородными функциями (см. также Опорная функция, Падграфик, Выпуклый анализ).