Суслина теорема

(в дескриптивной теории множеств) - 1) Существует А-множество (числовой прямой [img: http://localhost:8080/file/051964-62.jpg] не являющееся борелевским множеством. 2) Для того чтобы данное А-множество было борелевским, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было также А-множеством. 3) Всякое А-множество n-мерного пространства [img: http://localhost:8080/file/051964-63.jpg] есть (ортогональная) проекция борелевского (даже типа [img: http://localhost:8080/file/051964-64.jpg] множества пространства [img: http://localhost:8080/file/051964-65.jpg] (и следовательно, существует плоское борелевское множество типа [img: http://localhost:8080/file/051964-66.jpg] проекция которого не является борелевским множеством); проекция всякого А-множества есть А-множество. Все эти результаты получены М. Я. Суслиным [1]. Для определения А-множества там использовалась А-операция, а другие способы задания А-множеств были найдены позже. А-операция фактически построена П. С. Александровым [2], к-рый показал (хотя явно и не формулировал), что всякое борелевское множество может быть получено как результат А-операции над замкнутыми множествами (следовательно, является А-множеством), и использовал это для доказательства теоремы о мощности борелевских (на самом деле, А-)множеств пространства [img: http://localhost:8080/file/051964-67.jpg] После этого Н. Н. Лузиным был поставлен вопрос о существовании А-множества, не являющегося борелевским. Ответом на этот вопрос и явилась теорема 1). Теоремы 1) и 2) даны М. Я. Суслиным [1] без доказательств. Доказательства их, полученные М. Я. Суслиным, были позже упрощены Н. Н. Лузиным и только тогда опубликованы. Для доказательства теоремы 1) М. Я. Суслин построил плоское А-множество, универсальное для всех борелевских множеств и рассмотрел множество его точек, лежащих на диагонали х=у (см. [3], с. 94). Теорема 2) теперь часто наз. критерием Суслина борелевских множеств. Доказательство М. Я. Суслина этой теоремы было основано на разложении СА-множества на сумму [img: http://localhost:8080/file/051964-68.jpg] борелевских множеств (см. [4], [5]).