Сфера

- множество Sn точек хевклидова пространства En+1, находящихся от нек-рой точки х 0 (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е. [img: http://localhost:8080/file/051965-4.jpg] С. S0 - пара точек, С. S1 - это окружность, С. Sn при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sn (длина при п=1, поверхность при n=2) вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/051965-5.jpg] в частности, [img: http://localhost:8080/file/051965-6.jpg] Уравнение С. Sn в декартовых прямоугольных координатах в Е n+1 имеет вид [img: http://localhost:8080/file/051965-7.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/051965-8.jpg] - координаты х, х0 соответственно), т. е. С.- (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида. Положение какой-либо точки в пространстве относительно С. характеризуется степенью точки. Совокупность всех С., относительно к-рых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет связку С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой плоскости (радикальной плоскости) имеют одинаковую степень (различную для разных точек), составляет пучок С. С точки зрения дифференциальной геометрии, С. Sn -риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при n=2 и риманову при n>2) кривизну [img: http://localhost:8080/file/051965-9.jpg] Все геодезич. линии С. замкнутьь и имеют постоянную длину [img: http://localhost:8080/file/051965-10.jpg] - это т. н. большие окружности, т. [img: http://localhost:8080/file/051965-11.jpg] На С. Sn дважды транзитивно действует ортогональная группа O(n+1) пространства Е п+1 (2-транзитивность означает, что для любых двух пар точек с равными расстояниями между ними существует вращение - элемент О(п+1), переводящее одну пару в другую); эта группа является полной группой изометрий Sn;наконец, С. есть однородное пространство: Sn=O(n+1)/O(n). С точки зрения (дифференциальной) топологии, С. Sn - замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее Е п+1 на две области и являющееся их общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная Е п+1,-это (открытый) шар, так что С. можно определить как его границу. Группы гомологии С. Sn, [img: http://localhost:8080/file/051965-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051965-13.jpg] в частности Sn не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение Sn в себя cущественно. Группы гомотопий С. Sn, [img: http://localhost:8080/file/051965-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051965-15.jpg] Напр., [img: http://localhost:8080/file/051965-16.jpg] при n>2. В общем случае - для любых kи п, k>n, группы [img: http://localhost:8080/file/051965-17.jpg] не вычислены (см. Сфер гомотопические группы). И здесь понятие С. получает обобщение. Напр., дикая сфера - топологич. С. (см. ниже) в Е п+1, не ограничивающая области, гомеоморфной Е п+1; Милнора сфера (экзотическая С.) - многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Sn. Топологич. пространство, гомеоморфное С., наз. топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что нек-рое пространство является топологич. сферой. Примеры. а) Инвариантная топологич. характеристика С. Sn при n>2 не известна (1984). О случае п=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен С. S2, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нем такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера). б) Полное односвязное риманово пространство размерности [img: http://localhost:8080/file/051965-18.jpg] кривизна [img: http://localhost:8080/file/051965-19.jpg] к-рого для всех касательных двумерных плоскостей [img: http://localhost:8080/file/051965-20.jpg] -ограничена с [img: http://localhost:8080/file/051965-21.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/051965-22.jpg] гомеоморфно Sn (теорема о сферe, см. Риманова геометрия). в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями Sn, гомеоморфно Sn при [img: http://localhost:8080/file/051965-23.jpg] (при п =3 - неизвестно (1984)). Если n = 5, 6, то оно также и гомеоморфно Sn (обобщенная гипотеза Пуанкаре), при n=3, 4 гипотеза остается (1984), при [img: http://localhost:8080/file/051965-24.jpg] диффеоморфизм не имеет места. Совершенно аналогично определяется С. Sв метрич. пространстве [img: http://localhost:8080/file/051965-25.jpg] Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым). В нормированном пространстве Кс нормой [img: http://localhost:8080/file/051965-26.jpg] С. наз. множество [img: http://localhost:8080/file/051965-27.jpg] это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной С. Один из вариантов, применяющихся в топологии, - т. н. бесконечномерная сфера - строгий индуктивный предел [img: http://localhost:8080/file/051965-28.jpg] последовательности вложенных сфер: [img: http://localhost:8080/file/051965-29.jpg] другое определение: [img: http://localhost:8080/file/051965-30.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051965-31.jpg] - бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого i оказывается, что [img: http://localhost:8080/file/051965-32.jpg] Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны. Напр., С. участвует в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, напр., проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/051965-33.jpg] можно интерпретировать как С. Sn с отождествленными диаметрально противоположными точками; С. с ручками и дырами используется в ручек теории;см. также Когомотопическая группа, Сферическое отображение.