Сферических гармоник метод

способ приближенного решения кинетич. уравнения с помощью разложения фазовой плотности частиц в конечную сумму по сферич. функциям от аргументов, задающих направление скорости частицы (см. [1]). Метод широко применяется при решении задач нейтронной физики. В одномерной плоской геометрии стационарное интегро-дифференциальное кинетич. уравнение переноса (при изотропном рассеянии частиц) [img: http://localhost:8080/file/051965-110.jpg] приближенно заменяется системой дифференциальных уравнений для [img: http://localhost:8080/file/051965-111.jpg] - приближенных значений коэффициентов Фурье [img: http://localhost:8080/file/051965-112.jpg] Система вида [img: http://localhost:8080/file/051965-113.jpg] возникает при условии [img: http://localhost:8080/file/051965-114.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/051966-1.jpg] - фазовая плотность частиц, распространяющихся в веществе, с - среднее число вторичных частиц, возникающих в одном акте взаимодействия с частицами вещества, [img: http://localhost:8080/file/051966-2.jpg] - многочлен Лежандра степени п. Система (3) определяет Р 2N-1 -приближение С. г. м. для уравнения (1). Приближенное значение фазовой плотности [img: http://localhost:8080/file/051966-3.jpg] Для уравнения (1) типичные краевые условия имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/051966-4.jpg] Таковы, напр., краевые условия для задачи нейтронной физики о критич. режиме слоя толщины hсо свободными поверхностями х=0 и x=h (границы с вакуумом). В этой задаче необходимо найти положительное решение (1), (6) и собственное значение с. ВС. г. м. вместо (6) естественно взять [img: http://localhost:8080/file/051966-5.jpg] Однако такой подход дает в два раза больше условий, чем необходимо для частного решения системы (3). На практике был испытан различный выбор значений пв (7). Наилучший результат дают условия с n=2k+1, k=0, 1,.... N-1. Для односкоростного уравнения переноса общего вида из Владимирова вариационного принципа получается система уравнений С. г. м. и указанные граничные условия (при выборе пробных функций в виде линейной комбинации сферических гармоник). Для трехмерной геометрии граничные условия можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/051966-6.jpg] Здесь r- вектор пространственной координаты, [img: http://localhost:8080/file/051966-7.jpg] - единичный вектор скорости частицы, имеющий сферич. координаты [img: http://localhost:8080/file/051966-8.jpg] - единичный вектор внешней нормали к кусочно гладкой поверхности Г, ограничивающей выпуклую область пространства, в к-рой решается задача [img: http://localhost:8080/file/051966-9.jpg] - сферич. функции, [img: http://localhost:8080/file/051966-10.jpg] - присоединенные функции Лежандра 1-го рода [img: http://localhost:8080/file/051966-11.jpg] - многочлены Лежандра). Низшие приближения С. г. м. (P1, P3)широко используются при решении задач нейтронной физики и дают хорошие результаты вдали от границ области, от источников и сильных поглотителей нейтронов. Теория возраста также строится в P1 -приближении. Обобщенное решение С. г. м. сходится к решению уравнения переноса при [img: http://localhost:8080/file/051966-12.jpg] (см. [2]). Скорость сходимости [img: http://localhost:8080/file/051966-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051966-14.jpg] легко оценить, сравнив интегральные уравнения для [img: http://localhost:8080/file/051966-15.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051966-16.jpg] т. е. оценив близость их ядер. Уравнение (1) с граничными условиями (6) приводит к интегральному уравнению с ядром [img: http://localhost:8080/file/051966-17.jpg] Система С. г. м. (3) при граничных условиях, аналогичных (6), [img: http://localhost:8080/file/051966-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051966-19.jpg] - корни [img: http://localhost:8080/file/051966-20.jpg] приводит к интегральному уравнению с ядром [img: http://localhost:8080/file/051966-21.jpg] где а i - веса квадратурной формулы Гаусса для системы узлов [img: http://localhost:8080/file/051966-22.jpg] Особенность, к-рую имеет функция [img: http://localhost:8080/file/051966-23.jpg] приводит к медленной сходимости при больших N: [img: http://localhost:8080/file/051966-24.jpg] Приближенное собственное значение сходится к точному со скоростью 1/N2. Граничные условия (9) возникают естественно при решении кинетич. уравнения методом дискретных ординат, к-рый состоит в замене (1) на приближенную систему [img: http://localhost:8080/file/051966-25.jpg] Метод дискретных ординат в одномерной геометрии эквивалентен С. г. м. (см. [3]), т. к. система (10) может быть получена из (3) спомощью линейного преобразования неизвестных функций: [img: http://localhost:8080/file/051966-26.jpg] Однако в многомерных задачах С. г. м. в низших приближениях дает большую точность, чем метод дискретных ординат.