Сходимость

- одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек-рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких-либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п. Понятие С. возникает, напр., при изучении математич. объектов с помощью приближения их в каком-то смысле более простыми. Так. для вычисления площади круга используется последовательность площадей правильных многоугольников, вписанных в этот круг; для приближенных вычислений интегралов от функций применяются аппроксимации их кусочно линейными функциями или, более общо, сплайнами и т. п. Можно сказать, что математич. анализ начинается с того момента, когда в множестве тех или иных элементов введено понятие С.- I. Сходимость последовательностей. В одном и том же множестве элементов можно вводить разные понятия С. его элементов в зависимости от изучаемого вопроса. Большую роль использование понятия С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. п.), в частности при нахождении их численных приближенных решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать при определенных условиях существование решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так в уравнений с частными производными существует теория различных сходящихся разностных методов их численного решения, удобных для их использования на современных вычислительных машинах. Если в нек-ром множестве X введено понятие С. последовательностей его элементов, т. е. в совокупности всех указанных последовательностей выделен нек-рый класс, каждая последовательность к-рого названа сходящейся, и всякой сходящейся последовательности поставлен в соответствие нек-рый элемент из множества Х, наз. ее пределом, то само множество Хназ. пространством со сходимостью. Обычно от понятия С. последовательностей требуется, чтобы оно обладало следующими свойствами: 1) каждая последовательность элементов множества Х может иметь не более одного предела; 2) всякая стационарная последовательность {х, х,..., х,...}, [img: http://localhost:8080/file/051967-20.jpg] является сходящейся и ее пределом является элемент х; 3) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также является сходящейся и имеет тот же предел, что и вся последовательность. При выполнении этих условий пространство Xназ. часто пространством со сходимостью по Фреше. Примером такого пространства является всякое хаусдорфово топологич. пространство, а следовательно, любое метрич. пространство, в частности счетно-нормированное, а потому и просто нормированное (но отнюдь не всякое полунормированное) пространство. Для того чтобы последовательность сходилась в полном метрич. пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Примером неметризуемого пространства со сходимостью по Фреше является пространство всех действительных функций, определенных на числовой оси [img: http://localhost:8080/file/051967-21.jpg] для к-рых С. последовательности [img: http://localhost:8080/file/051967-22.jpg] п=1, 2,..., означает ее С. при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/051967-23.jpg] Если в пространстве со сходимостью по Фреше Xопределить для каждого его подмножества [img: http://localhost:8080/file/051967-24.jpg] замыкание [img: http://localhost:8080/file/051967-25.jpg] как совокупность всех точек пространства X, к-рые являются пределом последовательностей точек, принадлежащих множеству А, то пространство Xможет не оказаться топологич. пространством, т. к. не обязательно замыкание [img: http://localhost:8080/file/051967-26.jpg] замыкания [img: http://localhost:8080/file/051967-27.jpg] всякого множества Апри данном определении будет совпадать с [img: http://localhost:8080/file/051967-28.jpg] Если в одном и том же множестве введены два определения С. и всякая последовательность, сходящаяся в смысле первого определения, сходится и в смысле второго, то говорят, что вторая сходимость сильнее первой. Во всяком пространство со С. Xможно ввести более сильную С. так, что порожденная ей операция замыкания превратит уже X в топологич. пространство, короче говоря, каждое пространство со С. может быть вложено в топологич. пространство, состоящее из тех же точек. Во всяком топологич. пространстве определено понятие С. последовательностей его точек, но этого понятия недостаточно, вообще говоря, для того чтобы описать замыкание любого множества в этом пространстве, т. е. дать определение точек прикосновения множества, и, следовательно, недостаточно, чтобы полностью описать топологию данного пространства. Чтобы это стало возможно, вводится понятие сходящейся обобщенной последовательности. Частично упорядоченное множество [img: http://localhost:8080/file/051967-29.jpg] наз. направленным множеством, если за любыми двумя его элементами имеется следующий за ними. Отображение [img: http://localhost:8080/file/051967-30.jpg] направленного множества [img: http://localhost:8080/file/051967-31.jpg] в нек-рое множество Xназ. обобщенной последовательностью или направленностью в X. Обобщенная последовательность [img: http://localhost:8080/file/051967-32.jpg] в топологич. пространстве Xназ. сходящейся к точке х 0 из X, если для каждой окрестности Uточки х 0 существует такое [img: http://localhost:8080/file/051967-33.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/051967-34.jpg] выполняется включение [img: http://localhost:8080/file/051967-35.jpg] В этом случае говорят, что предел обобщенной последовательности [img: http://localhost:8080/file/051967-36.jpg] существует и равен х 0, при этом пишут [img: http://localhost:8080/file/051967-37.jpg] В этих терминах замыкание множества, лежащего в топологич. пространстве X, описывается следующим образом: для того чтобы точка хпринадлежала замыканию [img: http://localhost:8080/file/051967-38.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/051967-39.jpg] необходимо и достаточно, чтобы нек-рая обобщенная последовательность точек из Xсходилась к х;а для того чтобы топологич. пространство было хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы каждая обобщенная последовательность его точек имела не более одного предела. В терминах С. обобщенных последовательностей можно сформулировать и критерий непрерывности отображения Fтопологич. пространства Xв топологич. пространство Y: для непрерывности отображения Fв точке [img: http://localhost:8080/file/051967-40.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для каждой обобщенной последовательности [img: http://localhost:8080/file/051967-41.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/051967-42.jpg] выполнялось бы условие [img: http://localhost:8080/file/051967-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051967-43.jpg] II. Сходимость числовых последовательностей и рядов. Простейшим примером, иллюстрирующим понятие С., являются сходящиеся числовые последовательности, т. е. последовательности комплексных чисел {zn}, имеющие конечные пределы, и сходящиеся числовые ряды, т.