Тауберовы теоремы

теоремы тауберова типа,- теоремы, устанавливающие условия, определяющие множество рядов (или последовательностей), на к-ром для двух данных суммирования методов А и В происходит включение [img: http://localhost:8080/file/052001-97.jpg] Наиболее часто в теории суммирования рассматривается случай, когда метод Втождествен сходимости. В Т. т., относящихся к этим случаям, устанавливаются условия на ряд (последовательность), при к-рых из суммируемости ряда данным методом следует его сходимость. Назв. теорем восходит к А. Тауберу [1], впервые доказавшему две теоремы такого тина для Абеля метода суммирования: 1) если ряд [img: http://localhost:8080/file/052001-98.jpg] суммируем методом Абеля к сумме Sи [img: http://localhost:8080/file/052001-99.jpg] то ряд сходится к S; 2) для того чтобы из суммируемости ряда (*) методом Абеля к сумме Sследовала сходимость этого ряда к сумме S, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/052001-100.jpg] Теорема 1) была позднее усилена, а именно, было показано, что условие [img: http://localhost:8080/file/052001-101.jpg] можно заменить на [img: http://localhost:8080/file/052001-102.jpg] Условия, к-рые накладываются на ряд в этих случаях, помимо его суммируемости, наз. тауборовыми условиями. Эти условия могут выражаться в различных формах. Наиболее распространенными для рядов (*) являются условия вида: [img: http://localhost:8080/file/052001-103.jpg] Н - постоянная, [img: http://localhost:8080/file/052001-104.jpg] а также их обобщения, где натуральный параметр пзаменен переменным tn. В Т. т. к таким условиям, помимо приведенных выше, относятся, напр., следующие: если ряд (*) суммируем методом Бореля к сумме Sи [img: http://localhost:8080/file/052001-105.jpg] то ряд сходится к S. Для каждого регулярного матричного метода суммирования существуют числа [img: http://localhost:8080/file/052001-106.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/052001-107.jpg] и условие [img: http://localhost:8080/file/052001-108.jpg] является тауберовым для этого метода (т. е. из суммируемости ряда этим методом и условия [img: http://localhost:8080/file/052001-109.jpg] следует сходимость ряда). Тауберовы условия могут выражаться через оценки частичных сумм Sn ряда или оценки разности Sn-Sm при определенных соотношениях между пи т. Примерами Т. т. с такими условиями являются следующие: если ряд (*) с частичными суммами Sn суммируем методом Бореля к сумме Sи [img: http://localhost:8080/file/052001-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052001-111.jpg] то ряд сходится к S;если ряд (*) суммируем методом Абеля к сумме Sи его частичные суммы Sn удовлетворяют условию Sn=0(1), то он суммируем к Sметодом Чезаро (С,1). Тауберовьш условием может служить лакунарность ряда: а n=0 при п=п k условие в этом случае выражается через свойства последовательности {nk}. Кроме обычной суммируемости, в теории суммирования рассматриваются Т. т. для специальных видов суммируемости (абсолютной, сильной, суммируемости со скоростью и др.).