Тензор

на векторном пространстве Vнад нолем k - элемент tвекторного пространства [img: http://localhost:8080/file/052002-28.jpg] где V*=Hom(V, k) - пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип (р, q). Число р наз. контравариантной валентностью, q - ковариантной валентностью, а число р+q - общей валентностью тензора t. Пространство Т 0,0(V)отождествляется с k. Тензоры типа (р,0) наз. контравариантными, типа (0, q) - ковариантными, а остальные - смешанными. Примеры Т. 1) Вектор пространства V(Т. типа, (1,0)). 2) Ковектор пространства V(Т. типа (0, 1)). 3) Каждый ковариантный Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-29.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052002-30.jpg] определяет q-линейную форму [img: http://localhost:8080/file/052002-31.jpg] на Vпо формуле [img: http://localhost:8080/file/052002-32.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/052002-33.jpg] пространства Т 0,q в пространство Lq(V) всех q-линейных форм на Vлинейно и инъектив-но; если dim [img: http://localhost:8080/file/052002-34.jpg] то это отображение является изоморфизмом, так что любая q-линейная форма отвечает нек-рому Т. типа (0, q). 4) Аналогично, каждый контравариантный Т. из Т р,0(V)определяет нек-рую р-линейную форму на V*, а если Vконечномерно, то верно и обратное. 5) Каждый Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-35.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052002-36.jpg] определяет линейное преобразование [img: http://localhost:8080/file/052002-37.jpg] пространства V, заданное формулой [img: http://localhost:8080/file/052002-38.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052002-39.jpg] то любое линейное преобразование пространства Vопределяется Т. типа (1, 1). 6) Аналогично, любой Т. типа (1, 2) определяет в Vбилинейную операцию, т. е. структуру k-алгебры; при этом, если dim [img: http://localhost:8080/file/052002-40.jpg] то любая структура k-алгебры в Vопределяется век-рым Т. типа (1, 2), к-рый наз. структурным тензором алгебры. Пусть Vконечномерно и v1,..., vn - его базис, v1,..., vn - сопряженный базис пространства V*. Тогда Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-41.jpg] составляют базис пространства Tp,q (V). Координаты [img: http://localhost:8080/file/052002-42.jpg] тензора [img: http://localhost:8080/file/052002-43.jpg] в этом базисе наз. также к о-ординатами тензора tвбазисе v1,..., vn пространства V. Напр., координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах [img: http://localhost:8080/file/052002-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052002-45.jpg], координаты Т. типа (0, 2) совпадают с элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты Т. типа (1, 1) - с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного Т. алгебры - с ее структурными константами. Если [img: http://localhost:8080/file/052002-46.jpg] - другой базис пространства [img: http://localhost:8080/file/052002-47.jpg] то координаты [img: http://localhost:8080/file/052002-48.jpg] тензора tв этом базисе определяются по формулам [img: http://localhost:8080/file/052002-49.jpg] Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из к-рых - верхний, а другой - нижний, подразумевается суммирование от 1 до п. Обратно, если система п p+q элементов поля k, зависящая от базиса пространства V, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам (1), то эта система является набором координат нек-рого Т. типа (р, q). В векторном пространстве Т p,q (V)определены операции сложения Т. и умножения Т. на екаляр из k. При этих операциях соответствующие координаты Т. складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения Т. разных типов, к-рая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/052002-50.jpg] переводящий [img: http://localhost:8080/file/052002-51.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052002-52.jpg] Поэтому для любых [img: http://localhost:8080/file/052002-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052002-54.jpg] элемент [img: http://localhost:8080/file/052002-55.jpg] может рассматриваться как Т. типа (p+r, q+s), к-рый и наз. произведением тензоров tи и. Координаты произведения вычисляются по формуле [img: http://localhost:8080/file/052002-56.jpg] Пусть р>0, q>0 и пусть фиксированы числа [img: http://localhost:8080/file/052002-57.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052002-58.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052002-59.jpg] Тогда определено линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052002-60.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052002-61.jpg] Оно наз. свертыванием (или сверткой) по [img: http://localhost:8080/file/052002-62.jpg] -му контравариантному и [img: http://localhost:8080/file/052002-63.jpg] -му ковариантному индексам. В координатах свертка записывается формулами [img: http://localhost:8080/file/052002-64.jpg] Напр., свертка [img: http://localhost:8080/file/052002-65.jpg] типа (1, 1) есть след соответствующего линейного преобразования. Аналогично определяются Т. на произвольном унитарном модуле Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства Т. переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причем иногда надо предполагать, что V- свободный или конечно порожденный свободный модуль. Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем kфиксирована невырожденная билинейная форма g(напр., V - евклидово или псевдоевклидово пространство над [img: http://localhost:8080/file/052002-66.jpg] форму gназывают в этом случае метрическим тензором. Метрический Т. определяет изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052002-67.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/052002-68.jpg] Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс [img: http://localhost:8080/file/052002-69.jpg] Тогда формула [img: http://localhost:8080/file/052002-70.jpg] определяет изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052002-71.jpg] называемый опусканием [img: http://localhost:8080/file/052002-72.jpg] -го контравариантного индекса. Иначе, [img: http://localhost:8080/file/052002-73.jpg] В координатах опускание индекса имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052002-74.jpg] Аналогично определяется изоморфизм подъема [img: http://localhost:8080/file/052002-75.jpg] -го ковариантного индекса [img: http://localhost:8080/file/052002-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052002-77.jpg] отображающий [img: http://localhost:8080/file/052002-78.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/052002-79.jpg] В координатах подъем индекса записывается формулой [img: http://localhost:8080/file/052002-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052002-81.jpg] В частности, подъем сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич. тензора gприводит к Т, типа (2, 0) с координатами gkll (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Напр., для [img: http://localhost:8080/file/052002-82.jpg] координаты Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-83.jpg] записывают в виде [img: http://localhost:8080/file/052002-84.jpg] Любое линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052002-85.jpg] векторных пространств над k естественным образом определяет линейные отображения [img: http://localhost:8080/file/052002-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052002-87.jpg] Если f - изоморфизм, то определяется также линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052002-88.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052002-89.jpg] Соответствие [img: http://localhost:8080/file/052002-90.jpg] обладает функторными свойствами. В частности, оно определяет линейное представление [img: http://localhost:8080/file/052002-91.jpg] группы GL(V) в пространстве Tp,q(V)(тензорное представление).