Тета-ряд

,ТЕТА-РЯД [img: http://localhost:8080/file/052004-75.jpg] -ряд,- функциональный ряд, применяемый для представления автоморфных форм и автоморфных функций. Пусть D - область комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/052004-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052004-77.jpg] - дискретная группа автоморфизмов области D. Если группа Г конечна, то из любой мероморфной в Dфункции Н(z), z=(z1,..., zp), можно получить автоморфную функцию [img: http://localhost:8080/file/052004-78.jpg] Для бесконечных групп необходимы множители сходимости, что н приводит к Т.-р. Тета-рядом Пуанкаре, или просто рядом Пуанкаре, ассоциированным с группой Г, наз. ряд вида [img: http://localhost:8080/file/052004-79.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052004-80.jpg] - якобиан отображения [img: http://localhost:8080/file/052004-81.jpg] т - целое действительное число, называемое весом или порядком; звездочка означает, что суммирование выполняется только по тем [img: http://localhost:8080/file/052004-82.jpg] к-рые доставляют различные члены ряда. При отображении [img: http://localhost:8080/file/052004-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052004-84.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/052004-85.jpg] преобразуется по закону [img: http://localhost:8080/file/052004-86.jpg] и, следовательно, представляет собой автоморфную функцию веса т, ассоциированную с группой Г. Отношение двух Т.-р. одинакового веса дает автоморфную функцию. Т.-р. частного вида [img: http://localhost:8080/file/052004-87.jpg] наз. тета-рядами Эйзенштейна или просто рядами Эйзенштейна, ассоциированными с группой Г. Л. Пуанкаре (Н. Poincarе) в серии работ 80-х гг. 19 в. развил теорию Т.-р. в связи с изучением автоморфных функций одного комплексного неременного. Пусть Г - дискретная фуксова группа дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/052004-88.jpg] отображающая единичную окружность на себя, D={z; |z|<1} -единичный круг. Ряды Пуанкаре в этом случае имеют вид [img: http://localhost:8080/file/052004-89.jpg] где Н, напр.,- ограниченная голоморфная функция в D. В предположении, что Г действует свободно на Dи фактор Х=D/ Гкомпактен, доказано, что ряд (2) сходится абсолютно и равномерно внутри Dпри [img: http://localhost:8080/file/052004-90.jpg] При высказанных условиях на H и Г это утверждение верно и для рядов (1) в случае, когда D- ограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/052004-91.jpg] Для нек-рых фуксовых групп ряды (2) сходятся и при т=1. Название лтета-ряды