Тета-функция

, ТЕТА-ФУНКЦИЯ [img: http://localhost:8080/file/052004-92.jpg] -функция, одного комплексного переменного - квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция [img: http://localhost:8080/file/052004-93.jpg] имеющая, кроме периода [img: http://localhost:8080/file/052004-94.jpg] еще квазипериод [img: http://localhost:8080/file/052004-95.jpg] при прибавлении к-poro к значению аргумента значение функции умножается на нек-рый мультипликатор. Иначе говоря, имеют место тождества по z: [img: http://localhost:8080/file/052004-96.jpg] Как периодическая целая функция, Т.-ф. всегда представима рядом [img: http://localhost:8080/file/052004-97.jpg] в к-ром подбор коэффициентов с п должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. тета-рядами (по причине первоначальных обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения. В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида [img: http://localhost:8080/file/052004-98.jpg] где k- натуральное число, называемое порядком или весом Т.-ф., q - числовой множитель, Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида [img: http://localhost:8080/file/052004-99.jpg] Во многих вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям [img: http://localhost:8080/file/052004-100.jpg] Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка kсоставляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/052004-101.jpg] Отдельные примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier). К. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. системaтич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции). Т.-ф. нескольких комплексных переменных возникают как естественное обобщение Т.-ф. одного комплексного переменного. Они строятся следующим образом. Пусть z=(z1,..., zp) - матрица-строка ркомплексных переменных, [img: http://localhost:8080/file/052004-102.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/052004-103.jpg] -я строка единичной матрицы Епорядка р; п= (п 1,..., п р) - целочисленная матрица-строка; [img: http://localhost:8080/file/052004-104.jpg] -симметрич. матрица порядка р, составленная из комплексных чисел и такая, что матрица [img: http://localhost:8080/file/052004-105.jpg] порождает положительно определенную квадратичную форму [img: http://localhost:8080/file/052004-106.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/052004-107.jpg] - транспонированная матрица п). Кратный тета - ряд [img: http://localhost:8080/file/052004-108.jpg] сходится абсолютно и равномерно на компактах из [img: http://localhost:8080/file/052004-109.jpg] и определяет, следовательно, целую трансцендентную функцию ркомплексных переменных z1,..., zp, называемую тета-функциен порядка 1. Различные элементы матрицы Аназ. модулями, или параметрами Т.-ф. [img: http://localhost:8080/file/052004-110.jpg] число модулей равно р(р+1)/2. Т.-ф. [img: http://localhost:8080/file/052004-111.jpg] 1-го порядка удовлетворяет следующим основным тождествам по z: [img: http://localhost:8080/file/052004-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052004-113.jpg] v=l,..., р; [img: http://localhost:8080/file/052004-114.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052004-115.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052004-116.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052004-117.jpg] Матрица S=(E, А)размера [img: http://localhost:8080/file/052004-118.jpg] является системой модулей, или системой периодов и квазипериодов, Т.-ф. [img: http://localhost:8080/file/052004-119.jpg] Если m=(m1,......, т р), т' =(т'1,..., т' р) - произвольные целочисленные матрицы-строки, то в более общем виде свойства периодичности Т.-ф. можно записать так: [img: http://localhost:8080/file/052004-120.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052004-121.jpg] - произвольные комплексные матрицы-строки, [img: http://localhost:8080/file/052004-122.jpg] - матрица размера [img: http://localhost:8080/file/052004-123.jpg] Тогда формула [img: http://localhost:8080/file/052004-124.jpg] определяет Т.-ф. 1-го порядка с характеристикой (общего вида) Г; в этой терминологии Т.-ф. (3) имеет характеристику 0. Матрица Г иначе наз. периодич. характеристикой матрицы [img: http://localhost:8080/file/052004-125.jpg] Всегда [img: http://localhost:8080/file/052004-126.jpg] Свойства (4) для Т.-ф. с характеристикой Г обобщаются в виде [img: http://localhost:8080/file/052004-127.jpg] Характеристика наз. нормальной, если [img: http://localhost:8080/file/052004-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052004-129.jpg] Наиболее употребительны дробные характеристики, когда все [img: http://localhost:8080/file/052004-130.jpg] - неотрицательные правильные рациональные дроби с общим знаменателем [img: http://localhost:8080/file/052004-131.jpg] Наиболее важный и простой случай - полуцелые, или половинные, характеристики, когда [img: http://localhost:8080/file/052004-132.jpg] Полуцелые характеристики [img: http://localhost:8080/file/052004-133.jpg] можно считать составленными из чисел 0 и 1 (обычно под лтета-характеристиками