Тихоновский куб

- топологич. произведение [img: http://localhost:8080/file/052005-122.jpg] экземпляров обычного отрезка I действительной прямой, где [img: http://localhost:8080/file/052005-123.jpg] - произвольный кардинал; обозначается [img: http://localhost:8080/file/052005-124.jpg] Т. к. введен А. Н. Тихоновым в 1929. Если [img: http://localhost:8080/file/052005-125.jpg] - натуральное число, то Т. к. [img: http://localhost:8080/file/052005-126.jpg] есть единичный куб в re-мерном евклидовом пространстве, топология к-рого порождена метрикой скалярного произведения. Если [img: http://localhost:8080/file/052005-127.jpg] - мощность натурального ряда, то куб [img: http://localhost:8080/file/052005-128.jpg] гомеоморфен гильбертову кирпичу. При [img: http://localhost:8080/file/052005-129.jpg] Т. к. [img: http://localhost:8080/file/052005-130.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052005-131.jpg] не гомеоморфны между собой: если [img: http://localhost:8080/file/052005-132.jpg] - бесконечный кардинал, то [img: http://localhost:8080/file/052005-133.jpg] есть вес пространства [img: http://localhost:8080/file/052005-134.jpg] а если [img: http://localhost:8080/file/052005-135.jpg] - натуральное число, то п - размерность пространства I п. Два свойства Т. к. [img: http://localhost:8080/file/052005-136.jpg] особенно важны: бикомпактность каждого из них, независимо от [img: http://localhost:8080/file/052005-137.jpg] и их универсальность по отношению ко вполне регулярным T1 -пространствам веса не большего, чем [img: http://localhost:8080/file/052005-138.jpg] каждое такое пространство гомеоморфно нек-рому подпространству пространства [img: http://localhost:8080/file/052005-139.jpg] Бикомпактные хаусдорфовы пространства, вес к-рых не превосходит [img: http://localhost:8080/file/052005-140.jpg] гомеоморфны замкнутым подпространствам тихоновского куба [img: http://localhost:8080/file/052005-141.jpg] Таким образом, всего двух операций - операции топологич. произведения и операции перехода к замкнутому подпространству - достаточно для того, чтобы получить из одного стандартного и весьма простого топологич. пространства - отрезка - любой бикомпакт. Примечательным следствием бикомпактности Т. к. является бикомпактность единичного шара в сопряженном к банахову пространству, наделенном слабой топологией сопряженного. Универсальность Т. к. и простота определения делает их важными стандартными объектами общей топологии. Однако топологич. строение Т. к. далеко не тривиально. В частности, куб [img: http://localhost:8080/file/052005-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052005-143.jpg] - мощность континуума, сепарабелен, хотя состоит из [img: http://localhost:8080/file/052005-144.jpg] точек; вес его равен [img: http://localhost:8080/file/052005-145.jpg] Неожиданный факт: число Суслина каждого Т. к. [img: http://localhost:8080/file/052005-146.jpg] счетно, независимо от [img: http://localhost:8080/file/052005-147.jpg] т. е. каждое семейство попарно непересекающихся открытых множеств в [img: http://localhost:8080/file/052005-148.jpg] счетно. Хотя в Т. к. есть много сходящихся последовательностей, этих последних не хватает для того, чтобы описать прямо оператор замыкания в Т. К. А. В. Архангельский.