Тождественная истинность

логическая истинность, общезначимоеть,- свойство формул языка исчисления предикатов, означающее истинность формулы во всех ее интерпретациях и цри всех допустимых значениях ее свободных переменных. Так, для формул, содержащих только один двуместный предикатный символ р и переменные одного сорта (т. е. такие переменные, к-рые при интерпретации должны иметь одну и ту же область пробегания), интерпретациями служат пары (М, R), где М - произвольное непустое множество, а [img: http://localhost:8080/file/052006-5.jpg] - произвольное двуместное отношение на М. Допустимыми значениями свободных переменных являются произвольные элементы из М. Истинность формулы [img: http://localhost:8080/file/052006-6.jpg] при значениях [img: http://localhost:8080/file/052006-7.jpg] переменных х 1,...., х n соответственно определяется индуктивным образом по построению формулы в соответствии с подразумеваемым логич. смыслом входящих в формулу логич. связок и кванторов и при условии, что связанные переменные пробегают множество М, а предикатный символ [img: http://localhost:8080/file/052006-8.jpg] обозначает отношение R. Пусть даны формула [img: http://localhost:8080/file/052006-9.jpg] и набор [img: http://localhost:8080/file/052006-10.jpg] переменных, содержащий все свободные переменные формулы [img: http://localhost:8080/file/052006-11.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/052006-12.jpg] обозначает множество всех наборов (a1,..., а п) элементов из М, для к-рых формула [img: http://localhost:8080/file/052006-13.jpg] истинна в (М, R). Множества вида [img: http://localhost:8080/file/052006-14.jpg] можно индуктивно определить следующим образом (при этом считаем, что логич. символами формул [img: http://localhost:8080/file/052006-15.jpg] являются [img: http://localhost:8080/file/052006-16.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-18.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052006-19.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052006-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-21.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052006-22.jpg] обозначают соответственно пересечение, разность и проекцию вдоль (п+1)-й координаты (т. е. образ относительно отображения [img: http://localhost:8080/file/052006-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-24.jpg] множеств. Тождественная истинность формулы [img: http://localhost:8080/file/052006-25.jpg] со свободными переменными х 1,...., х n означает тогда, что для любой интерпретации (М, R)всякий кортеж (a1,..., а п)элементов из Мпринадлежит множеству [img: http://localhost:8080/file/052006-26.jpg] При п=0множество [img: http://localhost:8080/file/052006-27.jpg] либо пусто, либо одноэлементно. Формула [img: http://localhost:8080/file/052006-28.jpg] является тождественно истинной. Обратная же импликация не является тождественно истинной формулой. В случае когда интерпретация фиксирована, тождественно истинными наз. иногда формулы, истинные в данной интерпретации при любых значениях ее свободных переменных.