Топологическое поле

- топологическое кольцо К, являющееся полем, причем дополнительно требуется, чтобы отображение [img: http://localhost:8080/file/052009-139.jpg] было непрерывно на [img: http://localhost:8080/file/052009-140.jpg] Любое подполе Р Т. п. К и замыкание [img: http://localhost:8080/file/052009-141.jpg] поля Рв К снова являются Т. п. Связные локально компактные Т. п. исчерпываются полями [img: http://localhost:8080/file/052009-142.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052009-143.jpg] (см. Локально компактное тело). Каждое нормированное поле является Т. п. относительно топологии, порождаемой нормой (см. Нормирование, Абсолютное значение). Если существуют два вещественных нормирования ии vполя Р, каждое из к-рых превращает Р в полное Т. п., и топологии [img: http://localhost:8080/file/052009-144.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052009-145.jpg] порождаемые ии v, различны, то поле Ралгебраически замкнуто. Поле [img: http://localhost:8080/file/052009-146.jpg] - единственное вещественно нормированное расширение поля [img: http://localhost:8080/file/052009-147.jpg] На каждом поле бесконечной мощности [img: http://localhost:8080/file/052009-148.jpg] существует ровно [img: http://localhost:8080/file/052009-149.jpg] различных топологий, превращающих его в Т. и. Топология Т. и. либо антидискретна, либо вполне регулярна. Построены Т. п., топология к-рого не нормальна, и Т. п., топология к-рого нормальна, но не наследственно нормальна. Т. п. либо связно, либо вполне несвязно. Существует связное Т. п. любой конечной характеристики. Неизвестно (1983), можно ли каждое Т. п. вложить в связное Т. п. в качестве подполя. В отличие от топологич. колец и линейных топологич. пространств, не каждое вполне регулярное топологич. пространство можно вложить в качестве подпространства в Т. п. Так, напр., псевдокомпактное (в частности, бикомпактное) подпространство Т.