Топологическое пространство

совокупность двух объектов: множества X, состоящего из элементов произвольной природы, наз. точками данного пространства, и из введенной в это множество топологической структуры, или топологии, все равно - открытой или замкнутой (одна переходит в другую, если заменить множества, составляющие данную топологию, их дополнениями). Если не сказано противное, под топологией [img: http://localhost:8080/file/052009-185.jpg] будет пониматься открытая топология. Логически самый простой способ определения топологии в данном множестве Xзаключается в непосредственном указании тех подмножеств множества X, к-рые составляют эту топологию. Но часто проще определять не все множества, являющиеся элементами данной топологии, а только нек-рые множества этих элементов (т. е. базу данной топологии), достаточные для того, чтобы все остальные элементы топологии получались как объединения (в случае открытой топологии) или пересечения (в случае замкнутой) множеств, к-рые составляют базу. Так, напр., обычная топология числовой прямой получается, если определить в качестве базы ее открытой топологии множество всех интервалов (можно ограничиться даже одними интервалами с рациональными концами). Остальные открытые множества суть объединения интервалов. Имея в виду базу открытой и, соответственно, замкнутой топологии, часто говорят об открытой, соответственно, замкнутой базе данного Т, п., причем открытые базы рассматриваются чаще замкнутых, поэтому если говорят просто о базе Т. п., то всегда имеют в виду его открытую базу. Наименьшее кардинальное число (в нетривиальных случаях бесконечное), являющееся мощностью какой-либо базы данного Т. п., наз. его весом. После мощности множества всех точек пространства вес является важнейшим т. н. кардинальнозначным инвариантом пространства. Особенно важны пространства, имеющие счетную базу; напр., числовая прямая есть такое пространство. Аналогично, счетная база евклидова га-мерного пространства получается, если взять т. н. рациональные (открытые) шары, т. е. шары, радиус к-рых и координаты центра к-рых суть рациональные числа. Часто приходится определять тем или иным стандартным (естественным) способом топологию во множестве, снабженном какой-либо другой структурой. Так, говорят об естественной топологии метрич. пространства или об естественной (интервальной) топологии упорядоченного множества. Первая имеет своей базой множество всех открытых шаров данного метрич. пространства, вторая - открытые интервалы данного линейно упорядоченного множества. Т. п. наз. метризуемым, если во множестве Xего точек можно ввести метрику [img: http://localhost:8080/file/052010-1.jpg] порождающую топологию данного Т. п. Метризуемые пространства образуют один из важнейших классов Т. п., и к центральным проблемам общей топологии принадлежали в течение нескольких десятилетий общая и специальная проблемы метризации, т. е. проблемы нахождения необходимых и достаточных условий для того, чтобы Т. п. или Т. п. того или иного специального класса было метризуемым. Эти условия составляют содержание общих или специальных метризационных теорем. Всякое подмножество Х 0 множестра Xвсех точек данного Т. п. X, [img: http://localhost:8080/file/052010-2.jpg] естественно превращается в Т. п. (подпространство пространства [img: http://localhost:8080/file/052010-3.jpg] с топологией, элементы к-рой суть всевозможные множества вида [img: http://localhost:8080/file/052010-4.jpg] где Г - любой элемент топологии [img: http://localhost:8080/file/052010-5.jpg] Пусть дана (открытая) топология [img: http://localhost:8080/file/052010-6.jpg] в множестве X, превращающая это множество в Т. п.. X, [img: http://localhost:8080/file/052010-7.jpg] Т. к. топология есть множество нек-рых подмножеств множества X, то между различными топологиями в одном и том же множестве Xестественно устанавливается отношение (частичного) порядка (по включению), т. е. топология [img: http://localhost:8080/file/052010-8.jpg] больше (или равна) топологии [img: http://localhost:8080/file/052010-9.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052010-10.jpg] есть подмножество множества [img: http://localhost:8080/file/052010-11.jpg] т. е. каждое множество, открытое в топологии [img: http://localhost:8080/file/052010-12.jpg] будет открытым и в топологии [img: http://localhost:8080/file/052010-13.jpg] Если в пределах данного рассуждения речь идет об одной и той же топологии в данном множестве X, то обыкновенно Т. п. X, [img: http://localhost:8080/file/052010-14.jpg] обозначается просто X. Из понятия топологии выводятся и все остальные основные топологич. понятия. Прежде всего замкнутые множества определяются как дополнения к открытым. Далее, окрестностью точки хв данном пространстве. наз. всякое открытое множество, содержащее точку х. Понятие окрестности позволяет сразу же определить и понятие точки прикосновения для любого множества [img: http://localhost:8080/file/052010-15.jpg] как такой точки, любая окрестность к-рой имеет непустое пересечение с множеством М. Из этого определения следует, что любая точка самого множества Мявляется точкой прикосновения этого множества. Множество всех точек прикосновения множества Мназ. замыканием множества Ми обозначается [М].Переход от любого множества Мк его замыканию наз. операцией замыкания в данном Т. п. Свойства этой операции: 1) [img: http://localhost:8080/file/052010-16.jpg] причем М=[М]тогда и только тогда, когда Мзамкнуто, т. е. его дополнение открыто; 2) [img: http://localhost:8080/file/052010-17.jpg] 3) [img: http://localhost:8080/file/052010-18.jpg] Замыкание любого множества есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М;другими словами, [М]есть наименьшее замкнутое множество, содержащее множество М. Операция замыкания и ее основные свойства 1), 2), 3) получены, исходя из основного (в нашем изложении) понятия топологии или топологич. структуры, введенной в данное множество X. Можно было бы, наоборот, считать основным топологич. понятием понятие замыкания, т. е. считать, что в абстрактно данном множестве Xдля каждого подмножества Мопределено подмножество [М], наз. замыканием множества, так что выполнены свойства 1), 2), 3) (наз. в этом случае аксиомами замыкания, или аксиомами Куратовского) и 4) [img: http://localhost:8080/file/052010-19.jpg] На основе так введенного понятия замыкания замкнутые множества определятся как множества, совпадающие со своими замыканиями, а открытые множества - как множества, дополнительные к замкнутым; таким образом получается в точности топология в нашем первоначальном смысле, а операция замыкания, к к-рой она приводит, совпадает с той, к-рая была дана априори. Именно этот путь и был избран К. Куратовским (К. Кuratowski, 1922) для построения понятия Т. п. В 1925 II. С. Александровым были введены открытые топологич. структуры. Оба подхода приводят к одному и тому же классу Т. п., в настоящее время являющемуся общепринятым. С понятием Т. п. тесно связано понятие непрерывного отображения одного пространства в другое. Отображение [img: http://localhost:8080/file/052010-20.jpg] Т. п. Xв Т. п. Yнепрерывно в точке [img: http://localhost:8080/file/052010-21.jpg] если для любой окрестности О у точки [img: http://localhost:8080/file/052010-22.jpg] в пространстве Yсуществует такая окрестность О х точки хв X, что [img: http://localhost:8080/file/052010-23.jpg] (условие Коши). При этом, не изменяя содержания определения, можно брать окрестности О у и О х из любых открытых баз соответственно пространств Yи X. В частности, для метрич. пространств это определение непрерывности переходит в обычное известное из курсов математич. анализа определение. Если отображение [img: http://localhost:8080/file/052010-24.jpg] непрерывно в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/052010-25.jpg] то оно наз. непрерывным отображением пространства X в пространство Y. Для непрерывности отображения [img: http://localhost:8080/file/052010-26.jpg] каждое из следующих условий необходимо и достаточно. 1) Если хесть точка прикосновения какого-либо множества [img: http://localhost:8080/file/052010-27.jpg] то f(x)есть точка прикосновения множества f(M)в F. 2) Полный прообраз f-1 (Г) всякого открытого в У множества Г есть открытое множество в X. Аналогично для замкнутых множеств. Если дано (непрерывное) отображение f Т. п. Xв Т. п. Y и Х а есть подпространство пространства X, то в силу отображения f пространство Х 0 отображается в Y и это отображение (наз. ограничением отображения [img: http://localhost:8080/file/052010-28.jpg] на подпространство Х 0) также непрерывно. Важный частный случай непрерывных отображений образуют т.