Топология вложений

топологические вложения,- раздел топологии, в к-ром изучаются локальные топологич. свойства расположений замкнутых подмножеств евклидова пространства или многообразия. Теория Т. в. возникла в работах А. 3 началось после решения Шкнфлиса гипотезы. В основном оно происходило в духе накопления фактов и решения большого числа задач частного характера. Были также выяснены связи методов теории Т. в. и геометрич. топологии многообразий. Примерно к сер. 70-х гг. теория Т. в. сформировалась в самостоятельное направление со своей тематикой, методами и задачами. С ее помощью был решен ряд принципиальных задач геометрич. топологии многообразий: доказано существование некомбинаторной триангуляции сфер размерности [img: http://localhost:8080/file/052011-1.jpg] получена характеризация топологич. многообразий и классифицированы односвязные четырехмерные многообразия. Топологическим вложением пространства X(как правило, многообразия, полиэдра или компакта) в евклидово пространство Е n наз. произвольный гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052011-2.jpg] пространства Xна подмножество [img: http://localhost:8080/file/052011-3.jpg] Иногда под Т. в. понимают просто включение [img: http://localhost:8080/file/052011-4.jpg] Два вложения [img: http://localhost:8080/file/052011-5.jpg] наз. эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052011-6.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052011-7.jpg] Если hявляется изотопией, то вложения наз. изотопными. Простейшие примеры неэквивалентных вложений получаются с помощью узлов (см. Узлов теория), гораздо труднее построить неэквивалентные вложения нульмерных компактов или отрезков в Е 3 (см. Дикий узел). Канторово множество на прямолинейном отрезке, лежащем в Е 3,и дикий нульмерный компакт Антуана в Е 3 неэквивалентны. Тот факт, что основные задачи теории Т. в. сконцентрированы на локальных свойствах, объясняется существованием т. н. диких вложений, для к-рых нарушается регулярность локальной структуры. Исследование глобальных свойств ручных (локально плоских) вложений, как правило, в Т. в. не включается. Следующие четыре теоремы можно считать основными в теории Т. в. Теорема 1 (характеризации). Вложение [img: http://localhost:8080/file/052011-8.jpg] является ручным тогда и только тогда, когда дополнение [img: http://localhost:8080/file/052011-9.jpg] обладает свойством 1 - ULC (для любого [img: http://localhost:8080/file/052011-10.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/052011-11.jpg] что каждое d-отображение [img: http://localhost:8080/file/052011-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052011-13.jpg] -гомотопно нулю в Y). Теорема 2 (о близких вложениях). Любые два близких ручных вложения изотопны посредством малой изотопии. Теорема 3 (о вложениях в тривиальной области размерностей). Если [img: http://localhost:8080/file/052011-14.jpg] то любые два ручных вложения изотопны. Теорема 4 (об аппроксимации). Любое вложение аппроксимируется ручным. Эти теоремы, за исключением теоремы 3, доказаны лишь при определенных размерностных ограничениях, различных для многообразий, полиэдров и компактов. Вложение многообразия Xв Е п наз. ручным (или локально плоским), если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/052011-15.jpg] существует такая окрестность U(х)в Е n, что пара [img: http://localhost:8080/file/052011-16.jpg] гомеоморфна стандартной паре (Е п, Е r)при гомеоморфизме, переводящем точку в начало координат. Теорема 1 справедлива в этом случае при [img: http://localhost:8080/file/052011-17.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052011-18.jpg] (при r=п-2и [img: http://localhost:8080/file/052011-19.jpg] ответ также известен: надо чтобы дополнение [img: http://localhost:8080/file/052011-20.jpg] было, грубо говоря, локально гомотопически эквивалентно окружности). Теорема 2 верна при [img: http://localhost:8080/file/052011-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052011-22.jpg] (прибавление малого узелка показывает, что при r=п-2теорема 2 заведомо неверна; условия изотопностй близких вложений при т=п-2 известны). Кроме того, для случая, когда Xявляется сферой Sr, доказано, что при [img: http://localhost:8080/file/052011-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052011-24.jpg] любое ручное вложение [img: http://localhost:8080/file/052011-25.jpg] изотопно стандартному (при r=п-2и [img: http://localhost:8080/file/052011-26.jpg] для этого необходимо и достаточно, чтобы дополнение [img: http://localhost:8080/file/052011-27.jpg] было гомотопически эквивалентно окружности). Теорема 4 верна при [img: http://localhost:8080/file/052011-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052011-29.jpg] (причем при r=n-2 и [img: http://localhost:8080/file/052011-30.jpg] эта теорема - как показывают соответствующие контрпримеры - заведомо неверна). Вложение полиэдра Xв Е n наз. ручным, если оно эквивалентно кусочно линейному вложению. В этом случае теоремы 1,2 и 4 верны при [img: http://localhost:8080/file/052011-31.jpg] Вложение r-мерного компакта. в Е п наз. ручным, если изотонией его можно снять с любого прямолинейного полиэдра [img: http://localhost:8080/file/052011-32.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/052011-33.jpg] В этом случае теорема 1 верна при [img: http://localhost:8080/file/052011-34.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052011-35.jpg] теорема 2, вообще говоря, неверна (при 2r+2>n), а теорема 4 верна для любого r.