Транзитивная группа

- группа подстановок (G, X)такая, что каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/052012-128.jpg] может быть переведен в любой элемент [img: http://localhost:8080/file/052012-129.jpg] подходящим элементом [img: http://localhost:8080/file/052012-130.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052012-131.jpg] Иными словами, все множество Xобразует единственную орбиту группы (G, X). Если же число орбит больше 1, то группа (G, X)наз. интранзитивной. Орбиты интранзитивной группы иногда наз. ее областями транзитивности. У интранзитивной группы (G, X) с орбитами Xi [img: http://localhost:8080/file/052012-132.jpg] ограничение действия группы на X;транзитивно. Пусть Н - подгруппа в Gи пусть [img: http://localhost:8080/file/052012-133.jpg] - разложение Gна правые смежные классы по Н. Пусть, далее, Х={ Нх i}. Тогда действие (G, X)определяется условием [img: http://localhost:8080/file/052012-134.jpg] Это действие транзитивно, и обратно, всякое транзитивное действие подобно вышеуказанному для подходящей подгруппы H в G. Действие (G, X)наз.. раз транзитивным, [img: http://localhost:8080/file/052012-135.jpg] если для любых двух упорядоченных множеств из kразличных элементов (х 1,..., х k)и (у 1,..., yk), [img: http://localhost:8080/file/052012-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052012-137.jpg] существует такой элемент [img: http://localhost:8080/file/052012-138.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052012-139.jpg] для всех i=l,..., k;иначе говоря, (G, X)обладает лишь одной антирефлексивной k-орбитой. Для [img: http://localhost:8080/file/052012-140.jpg] k-транзитивная группа наз. кратнотранзитивной. Примером дважды транзитивных групп являются группы целых линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/052012-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052012-142.jpg] нек-рого поля К. Примером трижды транзитивных групп служат группы дробно-линейных преобразований проективной прямой над полем К, т. е. преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/052012-143.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052012-144.jpg] Т. г. (G, X)наз. строго k раз транзитивной, если лишь тождественная подстановка может оставлять на месте kразличных элементов из [img: http://localhost:8080/file/052012-145.jpg] Группа целых линейных и группа дробно-линейных преобразований являются примерами строго дважды и строго трижды транзитивных групп. Конечная симметрич. группа Sn n раз транзитивна. Конечная знакопеременная группа А п (п-2) раза транзитивна. Эти две серии кратно транзитивных групп считаются тривиальными. Известны еще две 4 раза транзитивные группы М 11 и М 23 и две 5 раз транзитивные группы M12 и М 24 (см. [3], а также Матьё группа). Существует гипотеза (1984), что за исключением этих четырех групп не существует нетривиальных kраз транзитивных групп для [img: http://localhost:8080/file/052012-146.jpg] Эта гипотеза доказана в предположении, что верна неоднократно анонсированная классификация конечных простых неабелевых групп [6]. Более того, при указанном предположении можно считать законченной классификацию всех кратно транзитивных групп. Т. г. определяются также для дробных. вида т+1/2, m=0, 1, 2,.... А именно, группа (G, X) наз. 1/2- транзитивной, если либо |Х|=1, либо все орбиты группы (G, X)имеют одинаковую длину большую 1. А для п>1 группа (G, X) п+1/2 раз транзитивна, если фиксатор (Gx, X) п-1/2 раз транзитивен на X(см. [3]).