Трансверсальности условие

необходимое условие оптимальности в вариационных задачах с подвижными концами. С помощью Т. у. определяются произвольные постоянные, от к-рых зависит решение уравнений Эйлера. Т. у. является необходимым условием обращения в нуль первой вариации функционала. Для простейшей задачи вариационного исчисления с подвижными концами [img: http://localhost:8080/file/052013-10.jpg] в к-рой точка [img: http://localhost:8080/file/052013-11.jpg] не фиксируется, а может принадлежать нек-рому множеству, Т. у. записывается в виде соотношения [img: http://localhost:8080/file/052013-12.jpg] к-рое должно выполняться при любых значениях дифференциалов dt1, dx1, dt2, dx2,удовлетворяющих проварьированным граничным условиям. Если левый и правый концы экстремали могут смещаться вдоль заданных линий [img: http://localhost:8080/file/052013-13.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052013-14.jpg] то в силу [img: http://localhost:8080/file/052013-15.jpg] и независимости вариаций dt1 и dt2 из (1) получают [img: http://localhost:8080/file/052013-16.jpg] Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде: [img: http://localhost:8080/file/052013-17.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052013-18.jpg] то Т. у. (1) записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/052013-19.jpg] Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце, в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx, Т. у. (1) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/052013-20.jpg] Соотношения (2), (3), (4) наз. условиями трансверсальности. Ниже приводятся Т. у. в более общем случае вариационной задачи на условный экстремум. Пусть имеется Болъца задача, состоящая в минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/052013-21.jpg] при наличии дифференциальных ограничений типа равенств [img: http://localhost:8080/file/052013-22.jpg] и граничных условий [img: http://localhost:8080/file/052013-23.jpg] В этой задаче при р<2n+2 концы [img: http://localhost:8080/file/052013-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052013-25.jpg] экстремали не закреплены, а могут смещаться вдоль заданных гиперповерхностей [img: http://localhost:8080/file/052013-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052013-27.jpg] Согласно Т. у., существуют такие постоянные (множители Лагранжа) [img: http://localhost:8080/file/052013-28.jpg] а также такие множители [img: http://localhost:8080/file/052013-29.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052013-30.jpg] i=l,..., т, что на концах экстремали помимо граничных условий (7) выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/052013-31.jpg] к-рое должно иметь место при любом выборе дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/052013-32.jpg] Через Fв (8) обозначено [img: http://localhost:8080/file/052013-33.jpg] В большинстве практич. задач для нормировки множителей Лагранжа полагают [img: http://localhost:8080/file/052013-34.jpg] (значение [img: http://localhost:8080/file/052013-35.jpg] соответствует анормальному случаю, см. [1]). Множители [img: http://localhost:8080/file/052013-36.jpg] i=l,..., т, определяются вместо с xi(t), i=l,..., т, из решения системы дифференциальных уравнений Эйлера [img: http://localhost:8080/file/052013-37.jpg] и туравнений вида (6): [img: http://localhost:8080/file/052013-38.jpg] Общее решение полученной системы из. дифференциальных уравнений 2-го порядка и тдифференциальных уравнений 1-го порядка относительно п+т неизвестных функций xi (t), i=l,..., пи [img: http://localhost:8080/file/052013-39.jpg] i=l,..., m, (зависит от 2n произвольных постоянных. Действительно, если обозначить [img: http://localhost:8080/file/052013-40.jpg] то получается система (11), (12) 2. дифференциальных уравнений 1-го порядка и тконечных соотношений [img: http://localhost:8080/file/052013-41.jpg] Выражая из (13) нек-рые тфункций и i через остальные (в предположении, что соответствующий функциональный определитель отличен от нуля) и подставляя их в (11), (12), получают систему 2n дифференциальных уравнений 1-го порядка с 2n неизвестными функциями, общее решение к-рой зависит от 2га произвольных постоянных. Вместе со значениями t1 и t2 ото дает 2n+ 2 произвольных постоянных, определяющих решение вариационной задачи (5) - (7). С помощью Т. у. получают ровно столько же соотношений, позволяющих определить эти произвольные постоянные. В задачах оптимального управления и в принципе максимума Понтрягина необходимое Т. у. записывается аналогично (8), только вместо [img: http://localhost:8080/file/052013-42.jpg] в (8) следует подставлять гамильтониан H, взятый с обратным знаком, и сопряженные переменные [img: http://localhost:8080/file/052013-43.jpg] Необходимое Т. у. позволяет получать недостающие граничные условия для получения замкнутой краевой задачи, к к-рой сводится решение вариационной задачи с подвижными концами.