Тригонометрические функции

класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x. Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А - точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, [img: http://localhost:8080/file/052015-116.jpg] - угол между осью абсцисс и вектором ОА, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке - отрицательной, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052015-117.jpg] - полярный угол точки А. [img: http://localhost:8080/file/052015-118.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052015-119.jpg] - прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/052015-120.jpg] Остальные Т. ф. могут быть определены формулами [img: http://localhost:8080/file/052015-121.jpg] Все Т. ф.- периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2. [img: http://localhost:8080/file/052015-122.jpg] Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл. Функция Область определения Множество значений Четность Участки монотонности sinx [img: http://localhost:8080/file/052016-1.jpg] [-1, +1] нечетная возрастает при [img: http://localhost:8080/file/052016-2.jpg]....... убывает при [img: http://localhost:8080/file/052016-3.jpg] cosx [img: http://localhost:8080/file/052016-4.jpg] [-1, +1] четная возрастает при [img: http://localhost:8080/file/052016-5.jpg] убывает при [img: http://localhost:8080/file/052016-6.jpg] tg x [img: http://localhost:8080/file/052016-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-8.jpg] нечетная возрастает при [img: http://localhost:8080/file/052016-9.jpg] ctg x [img: http://localhost:8080/file/052016-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-11.jpg] нечетная убывает при [img: http://localhost:8080/file/052016-12.jpg] sec x [img: http://localhost:8080/file/052016-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-14.jpg] четная возрастает при [img: http://localhost:8080/file/052016-15.jpg] убывает при [img: http://localhost:8080/file/052016-16.jpg] соsес x [img: http://localhost:8080/file/052016-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-18.jpg] нечетная возрастает при [img: http://localhost:8080/file/052016-19.jpg] убывает при [img: http://localhost:8080/file/052016-20.jpg] Каждая Т. ф. в каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; производные Т. ф.: [img: http://localhost:8080/file/052016-21.jpg] Интегралы от Т. ф.: [img: http://localhost:8080/file/052016-22.jpg] Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды: [img: http://localhost:8080/file/052016-23.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052016-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-25.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052016-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-27.jpg] при 0 < |х|< [img: http://localhost:8080/file/052016-28.jpg] (Bn - числа Бернулли). Функция y=sinx, являющаяся обратной по отношению к функции z=sin у, определяет. как многозначную функцию от х', она обозначается y=Arcsin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к другим Т. ф.; все они наз. обратными тригонометрическими функциями. Тригонометрические функции комплексного переменного. Т. ф. для комплексных значений переменного z=x+iy определяются как аналитические продолжения соответствующих Т. ф. действительного переменного в комплексную плоскость. Так, sinz и cosz можно определить с помощью рядов для sinxи cos х. Эти ряды сходятся во всей плоскости, поэтому sinz и cosz- целые функции. Т. ф. тангенс и котангенс определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/052016-29.jpg] Т. ф. tg z и ctg z - мероморфнае функции. Полюсы tg zпростые (1-го порядка) и находятся в точках [img: http://localhost:8080/file/052016-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-31.jpg] полюсы ctg z также простые и находятся в точках [img: http://localhost:8080/file/052016-32.jpg] Все формулы, справедливые для Т. ф. действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплексного аргумента. В отличие от Т. ф. действительного переменного, функции sin zи cos z принимают все комплексные значения: уравнения sin z=a и cos z=a имеют решения для любого комплексного а: [img: http://localhost:8080/file/052016-33.jpg] Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме [img: http://localhost:8080/file/052016-34.jpg] уравнения tg z=o, ctg z=a имеют решения для любого комплексного числа [img: http://localhost:8080/file/052016-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052016-36.jpg] Т. ф. можно выразить через показательную функцию: [img: http://localhost:8080/file/052016-37.jpg] и гиперболические функции:sin z=-.sh iz, cos z=chiz, tg z =- i th iz. В. И. Битюцков.