Трикоми задача

задача отыскания решения уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с двумя независимыми переменными и с одной гладкой разомкнутой линией параболического вырождения АВ, принимающего заданные значения на эллиптической части [img: http://localhost:8080/file/052017-1.jpg] границы [img: http://localhost:8080/file/052017-2.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/052017-3.jpg] задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС, образующих гиперболическую часть [img: http://localhost:8080/file/052017-4.jpg] границы [img: http://localhost:8080/file/052017-5.jpg] (см. Смешанного типа уравнение). Т. з. для Трикоми уравнения [img: http://localhost:8080/file/052017-6.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/052017-7.jpg] ограниченной гладкой кривой [img: http://localhost:8080/file/052017-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-9.jpg] с концами в точках А(0, 0), В(1,0) и характеристиками АС и ВС: [img: http://localhost:8080/file/052017-10.jpg] впервые была поставлена и изучена Ф. Трикоми (F. Tricomi, [1], [2]). При определенных ограничениях на гладкость заданных функций и характер поведения производной uy искомого решения ив точках Аи ВТ. з.: [img: http://localhost:8080/file/052017-11.jpg] Для уравнения (1) редуцируется к отысканию регулярного в области [img: http://localhost:8080/file/052017-12.jpg] решения и=и(х, у)уравнения (1), удовлетворяющего краевым условиям [img: http://localhost:8080/file/052017-13.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052017-14.jpg] - однозначно определяется через [img: http://localhost:8080/file/052017-15.jpg] - оператор дробного (в смысле Римана - Лиувилля) дифференцирования порядка 2/3: [img: http://localhost:8080/file/052017-16.jpg] Г (z) - гамма-функция Эйлера. Решение задачи (1), (3) в свою очередь сводится к нахождению функции v(х)=и у(x,0) из нек-рого сингулярного интегрального уравнения. Это уравнение в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/052017-17.jpg] совпадает с нормальным контуром [img: http://localhost:8080/file/052017-18.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052017-19.jpg] где f(x) явно выражается через [img: http://localhost:8080/file/052017-20.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-21.jpg] а интеграл понимается в смысле глазного значения по Коши (см. [1] - [4]). При доказательство единственности и существования решения Т. з. наряду с принципом экстремума Бицадзе (см. Смешанного типа уравнение)и методом интегральных уравнений широко используется так наз. метод а b с, сущность к-рого заключается в том, что для данного дифференциального оператора 2-го порядка L(напр., Т) с областью определения D(L)строится дифференциальный оператор 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/052017-22.jpg] обладающий тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/052017-23.jpg] где C=const>0; [img: http://localhost:8080/file/052017-24.jpg] -нек-рая норма (см. [5]). Т. з. получила обобщения как на случай уравнений смешанного типа с несколькими линиями параболиче- ского вырождения (см. [6]) так и на случай уравнений смешанного гиперболо-параболического типа (см. [7]).