Узел

1) У.- тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/052102-112.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-113.jpg] G - область единственности, в окрестности особой точки х 0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х 0 такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в [img: http://localhost:8080/file/052102-114.jpg] отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт [img: http://localhost:8080/file/052102-115.jpg] а положительные полутраектории - асимптотическими (не выходя из U, примыкают к х 0,причем, будучи дополнены точкой х 0, касаются в ней определенных направлений), или наоборот. У. наз. при этом и сама точка х 0. У. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при [img: http://localhost:8080/file/052102-116.jpg] Индекс Пуанкаре для У. равен 1. Для системы (*) класса [img: http://localhost:8080/file/052102-117.jpg] с ненулевой матрицей А=f' (х 0)точка покоя х 0 является У., когда собственные значения [img: http://localhost:8080/file/052102-118.jpg] матрицы Адействительны и удовлетворяют условиям [img: http://localhost:8080/file/052102-119.jpg] но может быть У. и в тех случаях, когда [img: http://localhost:8080/file/052102-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-121.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/052102-122.jpg] точка х 0 будет У., если [img: http://localhost:8080/file/052102-123.jpg] при несоблюдении этого условия она может оказаться фокусoм. В любом из перечисленных выше случаев траектории системы, примыкающие к У. х 0, касаются в этой точке направлений, определяемых собственными векторами матрицы А. Если [img: http://localhost:8080/file/052102-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-125.jpg] то существует четыре таких направления (если различать диаметрально противоположные); при этом все траектории системы касаются в точке х 0 направлений, соответствующих собственному значению [img: http://localhost:8080/file/052102-126.jpg] за исключением двух траекторий, к-рые касаются в х 0 направлений, соответствующих собственному значению [img: http://localhost:8080/file/052102-127.jpg] (рис. 1). Это - обыкновенный У. Если [img: http://localhost:8080/file/052102-128.jpg] то собственными для матрицы Ав точке х 0 будут либо лишь два противоположных направления (в этом случае У, наз. вырожденным, рис. 2), либо - все направления. В последнем случае при условии [img: http://localhost:8080/file/052102-130.jpg] каждого направления касается в точке х 0 единственная траектория системы. Такой У. наз. дикритическим (рис. 3). [img: http://localhost:8080/file/052102-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-131.jpg] Если система (*) линейна (f(x) = A(х-x0), A- постоянная матрица), то для нее точка х 0 является У. лишь в тех случаях, когда собственные значения [img: http://localhost:8080/file/052102-132.jpg] матрицы Адействительны и [img: http://localhost:8080/file/052102-133.jpg] Любой луч x=x0+ps(р - собственный вектор матрицы А, [img: http://localhost:8080/file/052102-134.jpg] - параметр) является для нее траекторией. Обыкновенный, вырожденный и дикритический У. для линейной системы изображены соответственно на рис. 4, 5, 6. В случае обыкновенного У. все криволинейные траектории являются аффинными образами парабол [img: http://localhost:8080/file/052102-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-137.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052102-135.jpg] Термин лУ.