Унарная алгебра

уноид,- универсальная алгебра [img: http://localhost:8080/file/052105-21.jpg] с семейством [img: http://localhost:8080/file/052105-22.jpg] унарных операций [img: http://localhost:8080/file/052105-23.jpg] Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052105-24.jpg] произвольной группы Gв группу SA всех подстановок множества А. Такой гомоморфизм наз. действием группы. на А. Определяя унарную операцию [img: http://localhost:8080/file/052105-25.jpg] для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/052105-26.jpg] как подстановку из SA, отвечающую элементу gпри гомоморфизме [img: http://localhost:8080/file/052105-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052105-28.jpg] получают У. а. [img: http://localhost:8080/file/052105-29.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/052105-30.jpg] Структуру У. а. несет на себе любой модуль над кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний. и входными символами a1,..., а п также можно рассматривать как У. а. <S, f1,..., fn>, в к-рой fi(s)=ais есть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символа ai. У. а. с одной основной операцией наз. моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано <Р, f>, где Р={1,2,...} и f(n)=n+1. Тождества произвольной У. а. могут быть лишь следующих типов: [img: http://localhost:8080/file/052105-31.jpg] Тождество II2 равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. а., определяемое лишь тождествами вида Il, I2 или I3, наз. регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. а. и полугруппами (см. [1], [3], [4]). Пусть V - регулярно определимое многообразие У. а., заданное множеством [img: http://localhost:8080/file/052105-32.jpg] функциональных символов и множеством [img: http://localhost:8080/file/052105-33.jpg] тождеств. Каждому символу fi сопоставляется элемент а i, а для каждого тождества вида I1 из [img: http://localhost:8080/file/052105-34.jpg] выписывается определяющее соотношение [img: http://localhost:8080/file/052105-35.jpg] Пусть Р - полугруппа с порождающими [img: http://localhost:8080/file/052105-36.jpg] и выписанными определяющими соотношениями, a Р1 - полугруппа. свнешне присоединенной единицей е. Для каждого тождества вида I2 из [img: http://localhost:8080/file/052105-37.jpg] (если такие имеются) выписывают определяющее соотношение [img: http://localhost:8080/file/052105-38.jpg] Полугруппу Р V, получаемую из Р 1 присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразию V. Она во многом характеризует это многообразие. Если [img: http://localhost:8080/file/052105-39.jpg] содержит лишь тождества вида Il, то можно ограничиться построением лишь полугруппы Р. Определяя в Р V унарные операции fi(x)=xai, получают У. а. [img: http://localhost:8080/file/052105-40.jpg] к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а. [img: http://localhost:8080/file/052105-41.jpg] изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/052105-42.jpg] обратимых элементов полугруппы Р V.