Универсальная обертывающая алгебра

алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/052105-51.jpg] над коммутативным кольцом kс единицей - ассоциативная k- алгебра [img: http://localhost:8080/file/052105-52.jpg] с единицей, снабженная отображением [img: http://localhost:8080/file/052105-53.jpg] для к-рой выполнены следующие свойства: 1) о является гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052105-54.jpg] Ус-линейно и [img: http://localhost:8080/file/052105-55.jpg] 2) для любой ассоциативной k-алгебры Ас единицей и всякого такого k-линейного отображения [img: http://localhost:8080/file/052105-56.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052105-57.jpg] существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр [img: http://localhost:8080/file/052105-58.jpg] переводящий единицу в единицу, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/052105-59.jpg] У. о. а. определяется однозначно с точностью до изоморфизма и всегда существует: если [img: http://localhost:8080/file/052105-60.jpg] - тензорная алгебра k-модуля [img: http://localhost:8080/file/052105-61.jpg] I - ее двусторонний идеал, порожденный элементами вида [ х, у] - [img: http://localhost:8080/file/052105-62.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052105-63.jpg] - каноническое отображение, то [img: http://localhost:8080/file/052105-64.jpg] - У. о. а. для [img: http://localhost:8080/file/052105-65.jpg] Если kнётерово, а модуль [img: http://localhost:8080/file/052105-66.jpg] конечного порядка, то алгебра [img: http://localhost:8080/file/052105-67.jpg] - нётерова слева и справа. Если [img: http://localhost:8080/file/052105-68.jpg] - свободный модуль над областью целостности k, то [img: http://localhost:8080/file/052105-69.jpg] не имеет делителей нуля. Для любой конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/052105-70.jpg] над полем kалгебра [img: http://localhost:8080/file/052105-71.jpg] удовлетворяет условию Оре (см. Вложение полугруппы)и тем самым обладает телом частных. Если V - нек-рый k-модуль, то всякий гомоморфизм алгебр [img: http://localhost:8080/file/052105-72.jpg] продолжается до гомоморфизма ассоциативных алгебр [img: http://localhost:8080/file/052105-73.jpg] Этим устанавливается изоморфизм категории [img: http://localhost:8080/file/052105-74.jpg] -модулой и категории левых [img: http://localhost:8080/file/052105-75.jpg] -модулей, существование к-рого лежит в основе применений У. о. а. в теории представлений алгебр Ли (см. [3], [4]). У. о. а. прямого произведения алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/052105-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052105-77.jpg] есть тензорное произведение алгебр [img: http://localhost:8080/file/052105-78.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052105-79.jpg] - подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/052105-80.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052105-81.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052105-82.jpg] - свободные k-модули, то канонический гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052105-83.jpg] является вложением. Если k' - расширение поля k, то [img: http://localhost:8080/file/052105-84.jpg] У. о. а. обладает канонической фильтрацией [img: http://localhost:8080/file/052105-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052105-86.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052105-87.jpg] n>0,- k-подмодуль в [img: http://localhost:8080/file/052105-88.jpg] порожденный произведениями [img: http://localhost:8080/file/052105-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052105-90.jpg] для всех i. Ассоциированная с этой фильтрацией градуированная алгебра [img: http://localhost:8080/file/052105-91.jpg] коммутативна и порождается образом естественного отображения [img: http://localhost:8080/file/052105-92.jpg] это отображение определяет гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052105-93.jpg] симметрической алгебры [img: http://localhost:8080/file/052105-94.jpg] k-модуля [img: http://localhost:8080/file/052105-95.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052105-96.jpg] Согласно теореме Пуанкаре- Биркгофа - Витта [img: http://localhost:8080/file/052105-97.jpg] - изоморфизм алгебр, если [img: http://localhost:8080/file/052105-98.jpg] - свободный k-модуль. Эквивалентная формулировка состоит в следующем: если [img: http://localhost:8080/file/052105-99.jpg] - базис k-модуля [img: http://localhost:8080/file/052105-100.jpg] где I - линейно упорядоченное множество, то семейство одночленов [img: http://localhost:8080/file/052105-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052105-102.jpg] образует базис k-модуля [img: http://localhost:8080/file/052105-103.jpg] (в частности, [img: http://localhost:8080/file/052105-104.jpg] инъективно). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052105-105.jpg] - центр алгебры [img: http://localhost:8080/file/052105-106.jpg] Тогда для любой конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/052105-107.jpg] над полем характеристики 0 [img: http://localhost:8080/file/052105-108.jpg] совпадает с подалгеброй G-инвариантных элементов в [img: http://localhost:8080/file/052105-109.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052105-110.jpg] полупроста, то [img: http://localhost:8080/file/052105-111.jpg] является алгеброй многочленов от [img: http://localhost:8080/file/052105-112.jpg] переменных. Одним из важнейших направлений исследования У. о. а. является изучение их примитивных идеалов (см. [3]).