Унитарно эквивалентные операторы

действующие в гильбертовом пространство H линейные операторы Аи В собластями определения DA и DB соответственно такие, что 1) UDA = DB, 2) UAU-lx = Bx для любого [img: http://localhost:8080/file/052106-99.jpg] где U - унитарный оператор. Если Аи В - ограниченные линейные операторы, то условие 1) опускается. Если А - самосопряженный оператор, то таков же и В; если Аи В- ограниченные операторы, то [img: http://localhost:8080/file/052106-100.jpg] Самосопряженные У. э. о. имеют унитарно эквивалентные спектральные функции, т. е: [img: http://localhost:8080/file/052106-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052106-102.jpg] Поэтому спектры У. э. о. имеют одинаковую структуру: либо оба чисто точечные, либо оба чисто непрерывные, либо оба смешанные. В частности, в случае чисто точечного спектра собственные значения У. э. о. одинаковые и ранги собственных значений совпадают, причем это является не только необходимым, но и достаточным условием унитарной эквивалентности операторов с чисто точечным спектром. Примером пары У. э. о. в комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/052106-103.jpg] является оператор дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/052106-104.jpg] с областью определения DA,состоящей из абсолютно непрерывных на [img: http://localhost:8080/file/052106-105.jpg] функций, имеющих на этом промежутке суммируемую с квадратом производную, и оператор умножения на независимую неременную Bx=tx(t). Унитарным оператором, осуществляющим унитарную эквивалентность, является в этом случае Фурье преобразование.