Уолла инвариант

- элемент из Уолла группы, являющийся препятствием к перестройке бордизма до простой гомотонич. эквивалентности. Пусть X - конечный Пуанкаре комплекс, v - расслоение над Xи [img: http://localhost:8080/file/052108-41.jpg] - нек-рый класс, где т - формальная размерность Xи [img: http://localhost:8080/file/052108-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-43.jpg] имеет степень 1. Отображение всегда можно перестроить до [img: http://localhost:8080/file/052108-44.jpg] -связного отображения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052108-45.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-46.jpg] - групповое кольцо, и - - инволюция в нем: [img: http://localhost:8080/file/052108-47.jpg] задаваемая по формуле [img: http://localhost:8080/file/052108-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052108-50.jpg] определяется первым Штифеля - Уитни классом расслоения v. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052108-51.jpg] (коэффициенты в кольце [img: http://localhost:8080/file/052108-52.jpg] - Инволюция является антиизоморфизмом и определены группы Уолла [img: http://localhost:8080/file/052108-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-54.jpg] Пусть теперь [img: http://localhost:8080/file/052108-55.jpg] Тогда в стабильно свободном [img: http://localhost:8080/file/052108-56.jpg] -модуле [img: http://localhost:8080/file/052108-57.jpg] выделен базис, и Пуанкаре двойственность индуцирует простой изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052108-58.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052108-59.jpg] является (-1)k -формой. Поэтому получается класс [img: http://localhost:8080/file/052108-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-61.jpg] Пусть теперь [img: http://localhost:8080/file/052108-62.jpg] Можно выбрать образующие в [img: http://localhost:8080/file/052108-63.jpg] так, что они представляются вложениями [img: http://localhost:8080/file/052108-64.jpg] образы к-рых не пересекаются, и эти образы соединены путями с отмеченной точкой. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052108-66.jpg] Поскольку [img: http://localhost:8080/file/052108-65.jpg] то можно заменить [img: http://localhost:8080/file/052108-67.jpg] гомотопным отображением и считать, что [img: http://localhost:8080/file/052108-68.jpg] Так как X - комплекс Пуанкаре, то можно заменить Xкомплексом с единственной m-клеткой, т. е. имеется пара Пуанкаре (Х 0, Sm+1)и [img: http://localhost:8080/file/052108-69.jpg] Выбором подходящей клеточной аппроксимации получается отображение для триад Пуанкаре степени [img: http://localhost:8080/file/052108-70.jpg] Следовательно, имеется диаграмма из точных последовательностей (см. рис.): [img: http://localhost:8080/file/052108-71.jpg] При этом имеется невырожденное спаривание [img: http://localhost:8080/file/052108-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-73.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052108-74.jpg] - квадратичная (-1)k-форма, а [img: http://localhost:8080/file/052108-75.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052108-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-77.jpg] определяют ее лагранжевы плоскости L и Р. Тогда [img: http://localhost:8080/file/052108-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-79.jpg] Определенные выше элементы [img: http://localhost:8080/file/052108-80.jpg] и наз. инвариантами Уолла. Важным их свойством является независимость [img: http://localhost:8080/file/052108-81.jpg] от произвола конструкции и то, что равенство [img: http://localhost:8080/file/052108-82.jpg] равносильно представимости класса простой гомотопич. эквивалентностью, см. [1].