Уолша система

функций {Wn(x)} на отрезке [0, 1] -функции [img: http://localhost:8080/file/052108-90.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052108-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-92.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052108-93.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052108-94.jpg] k=0,1, 2,...,- функции Радемахера, [img: http://localhost:8080/file/052108-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-96.jpg] v1>v2>...>vm>0 - двоичное представление числа [img: http://localhost:8080/file/052108-97.jpg] Эта система была определена и исследована Дж. Уолтом [1], хотя еще в 1900 году Баррет использовал функции этой системы в вопросах связи при размещении проводников в открытых проводных линиях. В теории связи более предпочтительным является другое определение У. с. Именно, если [img: http://localhost:8080/file/052108-98.jpg] то функции Wn(x)определяются следующими рекуррентными формулами: [img: http://localhost:8080/file/052108-99.jpg] Системы {Wn(x)} и {W*n(x)} отличаются только нумерацией в пачках [img: http://localhost:8080/file/052108-100.jpg] т=1, 2,... Например: [img: http://localhost:8080/file/052108-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-102.jpg] и т. д. Номер kфункции [img: http://localhost:8080/file/052108-103.jpg] соответствует числу перемен знака этой функции в промежутке (0,1), т. е. является аналогом удвоенной частоты для синусоидальных функций. У. с. ортонормирована на отрезке [0,1] и ее можно рассматривать как естественное пополнение системы Радемахера. У. с. образуют коммутативную мультипликативную группу, единичным элементом в к-рой является функция W0(x). а обратным к Wk(x)является снова Wk(x).