Упорядоченная группа

группа G, на к-poй задано отношение порядка [img: http://localhost:8080/file/052108-122.jpg] такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство [img: http://localhost:8080/file/052108-123.jpg] влечет за собой [img: http://localhost:8080/file/052108-124.jpg] Порядок, как правило, подразумевается линейным и в этом случае понятие У. г. совпадает с понятием линейно упорядоченной группы. Иногда порядком называют произвольный частичный порядок и, соответственно, упорядоченными группами - произвольные частично упорядоченные группы. Порядковым гомоморфизмoм (частично) У. г. Gв У. г. Нназ. гомоморфизм j группы Gв группу Нтакой, что [img: http://localhost:8080/file/052108-125.jpg] в H. Ядрами порядковых гомоморфизмов являются нормальные выпуклые подгруппы и только они. Множество правых смежных классов линейно У. г. Gпо выпуклой подгруппе Нлинейно упорядочено, если считать [img: http://localhost:8080/file/052108-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-127.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/052108-128.jpg] Если Н - выпуклая нормальная подгруппа линейно У. г. G, то это отношение порядка превращает факторгруппу G/H в линейно У. г. Система [img: http://localhost:8080/file/052108-129.jpg] выпуклых подгрупп линейно У. г. обладает свойствами: а) [img: http://localhost:8080/file/052108-130.jpg] линейно упорядочена по включению и замкнута относительно пересечений н объединений; б) [img: http://localhost:8080/file/052108-131.jpg] инфраинвариантна, т. е. для любой [img: http://localhost:8080/file/052108-132.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/052108-133.jpg] верно [img: http://localhost:8080/file/052108-134.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/052108-135.jpg] в) если А<В - скачок в [img: http://localhost:8080/file/052108-136.jpg] т. е. A, [img: http://localhost:8080/file/052108-137.jpg] и между ними нет выпуклых подгрупп, то Анормальна в В, факторгруппа В/А- архимедова группа и [img: http://localhost:8080/file/052108-138.jpg] где NG(B)- нормализатор Вв G; г) все подгруппы из [img: http://localhost:8080/file/052108-139.jpg] строго изолированны, т. е. для любого конечного набора х, gl,..., gn из Gи любой подгруппы [img: http://localhost:8080/file/052108-140.jpg] соотношение [img: http://localhost:8080/file/052108-141.jpg] влечет за собой [img: http://localhost:8080/file/052108-142.jpg] Расширение GУ. г. H с помощью У. г. является У. г., если порядок H устойчив относительно внутренних автоморфизмов G. Расширение GУ. г. Нс помощью конечной группы является У. г., если Gбез кручения и ворядок в Нустойчив относительно внутренних автоморфизмов G. Порядковый тип счетной У. г. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052108-143.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052108-144.jpg] - порядковые типы множества целых и рациональных чисел соответственно, а [img: http://localhost:8080/file/052108-145.jpg] - произвольный счетный ординал. Всякая У. г. G является топологич. группой относительно интервальной топологии, в к-рой базой открытых множеств являются открытые интервалы [img: http://localhost:8080/file/052108-146.jpg] Выпуклые подгруппы У. г. открыты в этой топологии.