Упорядочиваемая группа

группа G, на к-рой может быть введено отношение линейного порядка [img: http://localhost:8080/file/052109-15.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052109-16.jpg] влечет за собой [img: http://localhost:8080/file/052109-17.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/052109-18.jpg] Группа G тогда и только тогда является У. г., когда в ней существует подмножество. со свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/052109-19.jpg] 4) [img: http://localhost:8080/file/052109-20.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/052109-21.jpg] Пусть S(a1, а 2,..., а п) - нормальная подполугруппа группы G, порожденная элементами a1, а 2,..., а п. Группа G тогда и только тогда является У. г., когда для любого конечного набора a1,..., а п элементов из G, отличных от единицы группы, найдется такой набор чисел [img: http://localhost:8080/file/052109-22.jpg] равных [img: http://localhost:8080/file/052109-23.jpg] что подполугруппа [img: http://localhost:8080/file/052109-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052109-25.jpg] не содержит единицу. Всякая У. г. есть группа с однозначным извлечением корня. Абелевы группы без кручения, локально нильпотентные группы без кручения, свободные, свободные разрешимые группы суть У. г. Двуступенно разрешимая группа, для всякого неединичного элемента хк-рой [img: http://localhost:8080/file/052109-26.jpg] является У. г. Класс У. г. замкнут относительно подгрупп, фильтрованных произведений, локально замкнут и, следовательно, является квазимногообразием. Свободное произведение У. г. есть У. г.