Упругости математическая теория

раздел механики, в к-ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. Напряжение в любой точке тела характеризуется 6 величинами - компонентами напряжений: нормальными напряжениями [img: http://localhost:8080/file/052110-26.jpg] и касательными напряжениями [img: http://localhost:8080/file/052110-27.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052110-28.jpg] и т. д. Деформация в любой точке тела также характеризуется 6 величинами - компонентами деформаций: относительными удлинениями [img: http://localhost:8080/file/052110-29.jpg] и сдвигами [img: http://localhost:8080/file/052110-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052110-31.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052110-32.jpg] и т. д. Основным физическим законом теории упругости является обобщенный закон Гука, согласно к-рому нормальные напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/052110-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052110-34.jpg] -средняя (гидростатич.) деформация, [img: http://localhost:8080/file/052110-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052110-36.jpg] -Ламе постоянные. Равенство (1) можно также представить в виде: [img: http://localhost:8080/file/052110-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052110-38.jpg] -среднее (гидростатич.) напряжение, К - модуль всестороннего сжатия. Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/052110-39.jpg] Из входящих сюда 36 коэффициентов cij, называемых модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала. У. м. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и так наз. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты и х, и у, и z вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат х, y, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия: [img: http://localhost:8080/file/052110-40.jpg] где r - плотность материала, X, У, Z - проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (напр., силы тяжести), отнесенные к массе этой частицы. К 3 уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и еще 6 равенств вида: [img: http://localhost:8080/file/052110-41.jpg] устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений. Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесенные к единице площади, равны Fx, Fy, Fz,aдля части S2 этой поверхности заданы перемещения ее точек [img: http://localhost:8080/file/052110-42.jpg] граничные условия имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/052110-43.jpg] где l1, l2, l3 - косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S1 трем равенствам (5), а вторые - что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S2 равенствам (6); в частном случае может быть [img: http://localhost:8080/file/052110-44.jpg] (часть поверхности S2 жестко закреплена). В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу, решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конического тела и др. Так как уравнения У. м. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путем суммирования решений для каждой системы сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путем суммирования (интегрирования). Такие решения, называемые функциями Грина, получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитических методов решения пространственной задачи У. м. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова - Галеркина и др.), метод упругих потенциалов и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). При решении плоских задач (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближенные решения многих практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений (см. Плоская задача теории упругости, Оболочек теория). В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения температуры. При постановке этой задачи в правую часть первых трех уравнений (1) добавляется член - [img: http://localhost:8080/file/052110-45.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052110-46.jpg] - коэффициент линейного теплового расширения, Т(х 1, х2, х3) - заданное поле температуры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости подвергаемых облучению тел. Большой практический интерес представляют задачи У. м. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/052110-47.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052110-48.jpg] в уравнении (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистич. методы У. м. т., отражающие статистич. природу свойств поликристаллич. тел. В динамических задачах теории упругости искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для матем. решения этих задач являются дифференциальные уравнения движения, отличающиеся от уравнений (3) тем, что правые части вместо нуля содержат инерционные члены и т. д. Одной из проблем У. м. т. является постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.