Уровня линия

функции Грина - множество точек [img: http://localhost:8080/file/052111-37.jpg] где G(z, z0) - функция Грина области Dкомплексной плоскости с полюсом в точке [img: http://localhost:8080/file/052111-38.jpg] Если область Dодносвязна, то структура этого множества легко выясняется при конформном отображении Dна круг [img: http://localhost:8080/file/052111-39.jpg] переводящем точку z0 в [img: http://localhost:8080/file/052111-40.jpg] Функция Грина инвариантна при этом отображении, а У. л. функции Грина круга [img: http://localhost:8080/file/052111-41.jpg] с полюсом в [img: http://localhost:8080/file/052111-42.jpg] служат окружности [img: http://localhost:8080/file/052111-43.jpg] Таким образом, в случае односвязной области У. л. [img: http://localhost:8080/file/052111-44.jpg] являются простые замкнутые кривые, совпадающие при [img: http://localhost:8080/file/052111-45.jpg] с границей области Dи стремящиеся при [img: http://localhost:8080/file/052111-46.jpg] к точке z0. Если область D m -связна и граница ее состоит из жордановых кривых Cv, v=l,..., т, то: если [img: http://localhost:8080/file/052111-47.jpg] достаточно велико, то У. л. является жордановой кривой; при [img: http://localhost:8080/file/052111-48.jpg] соответствующая У. л. стремится к точке z0, а при убывании [img: http://localhost:8080/file/052111-49.jpg] эта кривая удаляется от z0; если т>1, то при нек-ром значении [img: http://localhost:8080/file/052111-50.jpg] У. л. имеет самопересечение, а затем распадается на непересекающиеся простые замкнутые кривые; при достаточно малом [img: http://localhost:8080/file/052111-51.jpg] У. л. состоит из mжордановых кривых, и при [img: http://localhost:8080/file/052111-52.jpg] каждая из этих кривых стремится к одной из граничных кривых области D. В вопросах приближения функций многочленами на замкнутом ограниченном множестве Вс односвязным дополнением большую роль играют оценки расстояния от точки границы множества Вдо У. [img: http://localhost:8080/file/052111-58.jpg] и знак равенства имеет место для функции [img: http://localhost:8080/file/052111-59.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052111-60.jpg] в точке z = r. Точная верхняя оценка для К(/, г) в классе Sпока (1984) неизвестна. Точная оценка сверху для К(f, r)в подклассе звездообразных функций из Sимеет вид: [img: http://localhost:8080/file/052111-61.jpg] и знак равенства имеет место для функции [img: http://localhost:8080/file/052111-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052111-63.jpg] в точке z = r. При отображении круга |z| <1 функцией класса Sчисло точек перегиба У. л. L(f, r) и число точек нарушения ее звездности (т. е. точек У. л., в к-рых меняется направление вращения радиуса-вектора, когда точка z пробегает окружность |z|=r в определенном направлении) Moгут изменяться немонотонно при возрастании r, т. е. если r1<r2, то может оказаться, что У. л. L(f, r1) имеет больше точек перегиба и больше точек нарушения звездности, чем L(f, r2).