Условная сходимость

ряда - свойство ряда, заключающееся в том, что существует сходящийся ряд, полученный из данного нек-рой перестановкой его членов. Числовой ряд [img: http://localhost:8080/file/052111-150.jpg] безусловно сходится, если он сходится, и сходится любой ряд, полученный перестановкой его членов, причем сумма любого такого ряда одна и та же, иначе говоря, сумма безусловно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Если ряд (*) сходится, но не безусловно, то он наз. условно сходящимся. Для того чтобы ряд (*) условно сходился, необходимо и достаточно, чтобы он сходился, но не абсолютно, т. е. чтобы [img: http://localhost:8080/file/052111-151.jpg] Если члены ряда (*) являются действительными числами, через [img: http://localhost:8080/file/052111-152.jpg] обозначены его неотрицательные члены, а через [img: http://localhost:8080/file/052111-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052111-154.jpg] - отрицательные, то ряд (*) будет условно сходиться тогда и только тогда, когда оба ряда [img: http://localhost:8080/file/052111-155.jpg] расходятся (при этом порядок слагаемых в этих рядах безразличен). Пусть ряд (*) с действительными членами сходится условно и [img: http://localhost:8080/file/052111-156.jpg] тогда существует такой ряд [img: http://localhost:8080/file/052111-157.jpg] полученный перестановкой членов ряда (*), что если обозначить через [img: http://localhost:8080/file/052111-158.jpg] последовательность его частичных сумм, то [img: http://localhost:8080/file/052111-159.jpg] (это есть обобщение теоремы Римана). Произведение условно сходящихся рядов зависит от порядка, в к-ром суммируются результаты почленного умножения членов данных рядов. Понятие условной и безусловной сходимости ряда обобщается на ряды, члены к-рых являются элементами нек-рого нормированного векторного пространства X. Если X-конечномерное пространство, то аналогично случаю числовых рядов сходящийся ряд [img: http://localhost:8080/file/052111-160.jpg] п =1, 2,..., условно сходится тогда и только тогда, когда ряд [img: http://localhost:8080/file/052111-161.jpg] расходится. Если же пространство Xбесконечномерное, то в нем существуют безусловно сходящиеся ряды [img: http://localhost:8080/file/052111-162.jpg] не являющиеся абсолютно сходящимися, т. е. такие, что для них [img: http://localhost:8080/file/052111-163.jpg] Л. Д. Кудрявцев.