Условное математическое ожидание

случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой [img: http://localhost:8080/file/052112-84.jpg] -алгебре. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052112-85.jpg] -вероятностное пространство, Х - заданная на нем случайная величина с конечным математич. ожиданием, [img: http://localhost:8080/file/052112-86.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/052112-87.jpg] -алгебра, [img: http://localhost:8080/file/052112-88.jpg] У. м. о. случайной величины Xотносительно [img: http://localhost:8080/file/052112-89.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-90.jpg] наз. случайная величина [img: http://localhost:8080/file/052112-91.jpg] измеримая относительно [img: http://localhost:8080/file/052112-92.jpg] -алгебры и такая, что [img: http://localhost:8080/file/052112-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-94.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/052112-95.jpg] Если математич. ожидание случайной величины Xбесконечно (но определено), т. е. конечна только одна из величин [img: http://localhost:8080/file/052112-96.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052112-97.jpg] то определение У. м. о. посредством (*) имеет смысл, но [img: http://localhost:8080/file/052112-98.jpg] может принимать бесконечные значения. У. м. о. определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой функцию (случайную величину). Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич. ожидания: 1) [img: http://localhost:8080/file/052112-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-100.jpg] если почти наверное 2) [img: http://localhost:8080/file/052112-101.jpg] для любого действительного с; 3) [img: http://localhost:8080/file/052112-102.jpg] для любых действительных [img: http://localhost:8080/file/052112-103.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052112-104.jpg] 4) [img: http://localhost:8080/file/052112-105.jpg] 5) [img: http://localhost:8080/file/052112-106.jpg] для выпуклых функций g(x). Кроме того, имеют место следующие специфические для У. м. о. свойства: 6) если [img: http://localhost:8080/file/052112-107.jpg] -тривиальная [img: http://localhost:8080/file/052112-108.jpg] -алгебра, то [img: http://localhost:8080/file/052112-109.jpg] 7) [img: http://localhost:8080/file/052112-110.jpg] 8) [img: http://localhost:8080/file/052112-111.jpg] 9) если Xне зависит от [img: http://localhost:8080/file/052112-112.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-113.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052112-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-115.jpg] 10) если Yизмерима относительно [img: http://localhost:8080/file/052112-116.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-117.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052112-118.jpg] Имеет место теорема о сходимости под знаком У. м. о.: если X1, Х2,... - последовательность случайных величин, [img: http://localhost:8080/file/052112-119.jpg] п=1, 2,.... [img: http://localhost:8080/file/052112-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052112-121.jpg] почти наверное, то почти наверное [img: http://localhost:8080/file/052112-122.jpg] У. м. о. случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. м. о. Xотносительно [img: http://localhost:8080/file/052112-123.jpg] -алгебры, порожденной У. Частным случаем У. м. о. является условная вероятность.