Условное распределение

- функция элементарного события и борелевского множества, при каждом фиксированном элементарном событии являющаяся распределением, вероятностей, а при каждом фиксированном борелевском множестве - условной вероятностью. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052112-124.jpg] -вероятностное пространство, [img: http://localhost:8080/file/052112-125.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/052112-126.jpg] -алгебра борелевских множеств на прямой, X-случайная величина, определенная на [img: http://localhost:8080/file/052112-127.jpg] -под- [img: http://localhost:8080/file/052112-128.jpg] -алгебра [img: http://localhost:8080/file/052112-129.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/052112-130.jpg] определенная на [img: http://localhost:8080/file/052112-131.jpg] наз. (регулярным) условным распределением случайной величины Xотносительно [img: http://localhost:8080/file/052112-132.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-133.jpg] если: а) при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/052112-134.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/052112-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-136.jpg] -измерима, б) с вероятностью единица при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/052112-137.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/052112-138.jpg] является вероятностной мерой на [img: http://localhost:8080/file/052112-139.jpg] в) для произвольного [img: http://localhost:8080/file/052112-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-141.jpg] Аналогично определяется У. р. случайного элемента [img: http://localhost:8080/file/052112-142.jpg] со значениями в произвольном измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/052112-143.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052112-144.jpg] -полное сепарабельное метрич. пространство, [img: http://localhost:8080/file/052112-145.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/052112-146.jpg] -алгебра борелевских множеств, то У. р. случайного элемента [img: http://localhost:8080/file/052112-147.jpg] относительно любой [img: http://localhost:8080/file/052112-148.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-149.jpg] существует. Функцию [img: http://localhost:8080/file/052112-150.jpg] наз. условной функцией распределения случайной величины Xотносительно [img: http://localhost:8080/file/052112-151.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052112-152.jpg] У. р. (условная функция распределения) случайной величины Xотносительно случайной величины У определяется как У. р. (условная функция распределения) Xотносительно s-алгебры, порожденной Y. Условная функция распределения Fx(x|Y) случайной величины Xотносительно Y является борелевской функцией от Y; при Y=y ее значение FX(x|Y=у) наз. условной функцией распределениях при фиксированном значении Y. Пусть Y имеет плотность распределения fY (у), тогда [img: http://localhost:8080/file/052112-153.jpg] где FX,Y(x, y)- совместная функция распределения X и Y.