Устойчивости критерии

необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней уравнения [img: http://localhost:8080/file/052112-189.jpg] У. к. используются, когда применяется теорема Ляпунова об устойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных уравнений (см. Устойчивость по Ляпунову). Наиболее употребителен следующий У. к., наз. критерием Рауса - Гурвица или критерием Гурница: для отрицательности действительных частей. всех корней уравнения (*) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокупность неравенств [img: http://localhost:8080/file/052112-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-191.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052112-192.jpg] главные диагональные миноры матрицы [img: http://localhost:8080/file/052112-193.jpg] (на главной диагонали этой матрицы стоят a1,..., а n;при i >n полагают ai=0). При п=2У. к. Рауса- Гурвица выглядит особенно просто: для отрицательности действительных частей корней уравнения [img: http://localhost:8080/file/052112-194.jpg] необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты уравнения были положительны: a1> 0, а 2>0. При всяком [img: http://localhost:8080/file/052112-195.jpg] для отрицательности действительных частей всех корней уравнения (*) необходимо (но при п>2недостаточно), чтобы все коэффициенты уравнения были положительны: [img: http://localhost:8080/file/052112-196.jpg] Если хоть одни из определителей [img: http://localhost:8080/file/052112-197.jpg] отрицателен, то. у уравнения (*) найдется корень, действительная часть к-рого положительна (это утверждение используется при применении теоремы Ляпунова о неустойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных уравнений, см. Устойчивость по Ляпунову). Если [img: http://localhost:8080/file/052112-198.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/052112-199.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/052112-200.jpg] для некоторого [img: http://localhost:8080/file/052112-201.jpg] то расположение корней уравнения (*) относительно мнимой оси тоже можно выяснить, не находя самих корней (см. [5], [8] гл. XVI, з 8). Более простым для применения является критерий Льонара - Шипара: для отрицательности действительных частей всех корней уравнения (*) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокупность неравенств [img: http://localhost:8080/file/052112-202.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-203.jpg] (определители Di - те же, что н критерии Рауса -Гурвица). Критерий Эрмита (исторически первый, см. [11, |10] [img: http://localhost:8080/file/052112-204.jpg] 3.1) позволяет с помощью конечного числа арифметич. действии над коэффициентами уравнения (*) определить, все ли корни этого уравнения имеют отрицательную действительную часть. Сформулированный выше критерий Рауса - Гурвица - это модификация критерия Эрмита, найденная А. Гурвицем. Известен также У. к. Ляпунова (см. [3], [8] гл. XVI, [img: http://localhost:8080/file/052112-205.jpg] 5, [10] [img: http://localhost:8080/file/052112-206.jpg] 3.5). При исследовании устойчивости неподвижной точки дифференцируемого отображения (автономной системы с дискретным временем), а также при исследовании орбитальной устойчивости замкнутой траектории автономном системы дифференциальных уравнений применяются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы модули всех корней уравнения (*) были меньше единицы. Эти критерии получаются из У. к., указанных выше, отображением [img: http://localhost:8080/file/052113-1.jpg] открытого единичного круга на открытую левую полуплоскость (см. [10] [img: http://localhost:8080/file/052113-2.jpg] 3.2).