Устойчивость по ляпунову

точки относительно семейства отображений нек-рого пространства Е [img: http://localhost:8080/file/052114-7.jpg] -равностепенная непрерывность этого семейства отображений в этой точке (здесь G+- множество неотрицательных чисел: действительных [img: http://localhost:8080/file/052114-8.jpg] или целых [img: http://localhost:8080/file/052114-9.jpg] У. по Л. точки относительно семейства отображений (1) эквивалентна непрерывности н этой точке отображения [img: http://localhost:8080/file/052114-10.jpg] ее окрестности во множество функций [img: http://localhost:8080/file/052114-11.jpg] определенных формулой х(t)=f t (х), наделенное топологией равномерной сходимости на G+. У. по Л. точки относительно отображения определяется как ее У. по Л. относительно семейства неотрицательных степеней этого отображения. У. по Л. точки относительно дпнамич. системы f t есть У. по Л. этой точки относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-12.jpg] У. по Л. за данного на [img: http://localhost:8080/file/052114-13.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052114-14.jpg] уравнения х(t+1) = gtx(t)есть У. по Л. точки x0 (t0) относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-16.jpg] У. по Л. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052114-15.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052114-17.jpg] дифференциального уравнения x=f(x, t)есть У. по Л. точки х 0(t0) относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-18.jpg] - Коши оператор этого уравнения. У. по Л. заданного нa [img: http://localhost:8080/file/052114-19.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052114-20.jpg] дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-21.jpg] порядка тесть У. по Л. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052114-22.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052114-23.jpg] соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/052114-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052114-25.jpg] где х = (х 1,..., х т), f(x, t)==(x2,..., х т, g(x1,..., х т, t)). Приводимые ниже определения 1 - 7 являются нек-рыми конкретизациями этих и родственных им определений. 1. Пусть дано дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/052114-26.jpg] где хпринадлежит n-мерному нормированному пространству Е. Решение, [img: http://localhost:8080/file/052114-27.jpg] этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-28.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-29.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-30.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-31.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/052114-32.jpg] задачи Коши [img: http://localhost:8080/file/052114-33.jpg] единственно, определено на [img: http://localhost:8080/file/052114-34.jpg] и при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-35.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-36.jpg] Если, сверх того, найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-37.jpg] такое, что для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/052114-38.jpg] уравнения x=f(x,t), начальное значение к-poгo удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-39.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/052114-40.jpg] (соответственно неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-41.jpg] здесь и далее полагают [img: http://localhost:8080/file/052114-42.jpg] то решение [img: http://localhost:8080/file/052114-43.jpg] наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым. Решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-44.jpg] где x [img: http://localhost:8080/file/052114-45.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052114-46.jpg] наз. устойчивым по Ляпунову (асимптотически, экспоненциально устойчивым), если оно становится таковым в результате наделения пространства [img: http://localhost:8080/file/052114-47.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052114-48.jpg] нек-рой нормой. От выбора нормы это свойство решения не зависит. 2. Пусть дано отображение [img: http://localhost:8080/file/052114-49.jpg] где (S, d)- метрич. пространство. Точка [img: http://localhost:8080/file/052114-50.jpg] наз. устойчивой по Ляпунову относительно отображения f, если для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-51.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-52.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-53.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052114-54.jpg] выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-56.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-57.jpg] Если, сверх того, найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-58.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-59.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-60.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/052114-61.jpg] (неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-62.jpg] то точка х 0 наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивой относительно отображения f. Пусть дано отображение f компактного топологич. пространства Sв себя. Точка [img: http://localhost:8080/file/052114-63.jpg] наз. устойчивой по Ляпунову (асимптотически устойчивой) относительно отображения f, если она становится таковой в результате наделения пространства S нек-рой метрикой. От выбора метрики это свойство точки не зависит. Если S - компактное дифференцируемое многообразие, то точка [img: http://localhost:8080/file/052114-64.jpg] наз. экспоненциально устойчивой относительно отображения [img: http://localhost:8080/file/052114-65.jpg] если она становится таковой в результате наделения Sнек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики на S это свойство точки не зависит. 3. Пусть дано дифференциальное уравнение (2), где хпринадлежит векторному топология, пространству Е. Решение [img: http://localhost:8080/file/052114-66.jpg] этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякой окрестности нуля [img: http://localhost:8080/file/052114-67.jpg] множество тех [img: http://localhost:8080/file/052114-68.jpg] для к-рых решение [img: http://localhost:8080/file/052114-69.jpg] задачи Коши (2). x(t0)=x единственно, определено на [img: http://localhost:8080/file/052114-70.jpg] и при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-71.jpg] удовлетворяет соотношению [img: http://localhost:8080/file/052114-72.jpg] есть окрестность точки x0(t0) в пространстве Е. Если, сверх того, найдется окрестность [img: http://localhost:8080/file/052114-73.jpg] точки x0(t0) такая, что для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/052114-74.jpg] уравнения (2), удовлетворяющего условию [img: http://localhost:8080/file/052114-75.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/052114-76.jpg] (равенство [img: http://localhost:8080/file/052114-77.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/052114-78.jpg] то решение [img: http://localhost:8080/file/052114-79.jpg] наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым. Если пространство. нормируемо, то это определение формулируется так же, как в п. 1, если в качестве нормы [img: http://localhost:8080/file/052114-80.jpg] взять любую норму, согласующуюся с топологией пространства Е. 4. Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на римановом многообразии U(моделью к-рого служит евклидово или гильбертово пространство) или (более общая ситуация) на финслеровом многообразии U(моделью к-рого служит нормированное пространство); расстояние в Uобозначается через [img: http://localhost:8080/file/052114-81.jpg] Решение [img: http://localhost:8080/file/052114-82.jpg] этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-83.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-84.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-85.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-86.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/052114-87.jpg] задачи Коши (2), x(t0)=х единственно, определено на [img: http://localhost:8080/file/052114-88.jpg] и при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-89.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-90.jpg] Если, сверх того, найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-91.jpg] такое, что для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/052114-92.jpg] уравнения (2), начальное значение к-рого удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-93.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/052114-94.jpg] (неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-95.jpg] то решение [img: http://localhost:8080/file/052114-96.jpg] наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым. Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на компактном дифференцируемом многообразии V п. Решение этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову (асимптотически, экспоненциально устойчивым), если оно становится таковым в результате наделения многообразия. нек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики это свойство решения не зависит. 5. Пусть Е - равномерное пространство. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052114-97.jpg] - отображения, определенные на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/052114-98.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/052114-99.jpg] наз. устойчивой по Ляпунову относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-100.jpg] если для всякого окружения Wнайдется окрестность Vточки х 0 такая, что множество тех [img: http://localhost:8080/file/052114-101.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/052114-102.jpg] при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-103.jpg] есть окрестность точки х 0. Если, сверх того, найдется окрестность V0 точки х 0 такая, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-104.jpg] для всякого окружения Wнайдется [img: http://localhost:8080/file/052114-105.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052114-106.jpg] при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-107.jpg] то точка x0 наз. асимптотически устойчивой. Если Е - компактное топологич. пространство, а [img: http://localhost:8080/file/052114-108.jpg] -отображения, заданные на нек-ром открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/052114-109.jpg] то точка [img: http://localhost:8080/file/052114-110.jpg] наз. устойчивой по Ляпунову (асимптотически устойчивой) относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-111.jpg] если она становится таковой в результате наделения пространства Етой единственной равномерной структурой, к-рая согласуется с топологией пространства Е. 6. Пусть Е- топологич. пространство. U - открытое множество в нем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052114-112.jpg] где Gесть [img: http://localhost:8080/file/052114-113.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052114-114.jpg] -отображения, имеющие неподвижную точку x0. Неподвижная точка х 0 наз. устойчивой по Ляпунову относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-115.jpg] если для всякой окрестности Vточки х 0 найдется окрестность Wтой же точки такая, что [img: http://localhost:8080/file/052114-116.jpg] при всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-117.jpg] Если, сверх того, найдется окрестность V0 точки х 0 такая, что [img: http://localhost:8080/file/052114-118.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-119.jpg] то неподвижная точка х 0 наз. асимптотически устойчивой относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052114-120.jpg] 7. У. по Л. (асимптотическая, экспоненциальная устойчивость) решения [img: http://localhost:8080/file/052114-121.jpg] уравнения произвольного порядка [img: http://localhost:8080/file/052114-122.jpg] определяется как У. по Л. (соответственно асимптотическая, экспоненциальная устойчивость) решения [img: http://localhost:8080/file/052114-123.jpg] соответствующего уравнения 1-го порядка (2), где х= (х 1,..., х т), f(x, t) = (x2,... т, g(х 1,..., х т, t)). Определения 1, 2, 4, 6, 7охватывают устойчивые движения систем с конечным числом степенен свободы (причем уравнения на многообразиях естественно возникают при рассмотрении механич. систем со связями). Определения 2-7 охватывают устойчивые движения в механике сплошной среды и в других разделах физики, устойчивые решения операторных, функционально-дифференциальных (в частности, уравнений с запаздыванием) и др. уравнений. Исследование на устойчивость равновесия положения автономной системы. Пусть в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/052114-124.jpg] задано автономное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/052114-125.jpg] причем функция [img: http://localhost:8080/file/052114-126.jpg] непрерывно дифференцируема и обращается в этой точке в нуль. Если действительные части всех собственных значений производной dfxo отрицательны, то неподвижная точка х 0 дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-127.jpg] экспоненциально устойчива (теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению); для облегчения проверки условия этой теоремы применяются критерии устойчивости. Если при тех же условиях хоть одно из собственных значений производной [img: http://localhost:8080/file/052114-128.jpg] имеет положительную действительную часть (это условие можно проверить, не находя самих собственных значений, см. Устойчивости критерии), то неподвижная точка х 0 дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-129.jpg] неустойчива. Пример. Уравнение колебаний маятника с трением [img: http://localhost:8080/file/052114-130.jpg] Нижнее положение равновесия [img: http://localhost:8080/file/052114-131.jpg] экспоненциально устойчиво, т. к. корни характеристич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-132.jpg] уравнения в вариациях имеют отрицательные действительные части. Верхнее положение равновесия [img: http://localhost:8080/file/052114-133.jpg] неустойчиво, т. к. характеристич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/052114-134.jpg] уравнения в вариациях [img: http://localhost:8080/file/052114-135.jpg] имеет положительный корень. Эта неустойчивость имеет место и в отсутствии трения (а = 0). Нижнее положение равновесия маятника без трения - один из т. н. критических случаев, когда все собственные значения производной dfxo лежат в левой комплексной полуплоскости, причем хоть один из них лежит на мнимой оси. Для исследования устойчивости в критич. случаях А. М. Ляпунов предложил т. н. второй метод исследования устойчивости (см. Ляпунова функция). Для маятника без трения [img: http://localhost:8080/file/052114-136.jpg] нижнее положение равновесия устойчиво по Ляпунову, т. к. существует функция Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/052114-137.jpg] - полная энергия маятника; условие неположительности производной этой функции - следствие закона сохранения энергии. Неподвижная точка х 0 дифференцируемого отображения [img: http://localhost:8080/file/052114-138.jpg] экспоненциально устойчива относительно f, если все собственные значения производной dfxo по модулю меньше 1, н неустойчива, если хоть одно из них имеет модуль > 1. Исследование устойчивости периодич. точки дифференцируемого отображения сводится к исследованию устойчивости неподвижной точки относительно степени этого отображения. Периодич. решение автономного дифференциального уравнения не бывает асимптотически устойчивым (см. Орбитальная устойчивость, Андронова - Витта теорема). Не следует думать, что из экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения в вариациях автономного дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052114-139.jpg] вдоль решения [img: http://localhost:8080/file/052114-140.jpg] вытекает устойчивость решения. Это показывает пример Перрона (см.[2], [3]): [img: http://localhost:8080/file/052114-141.jpg] При а>1/2 нулевое решение системы уравнений в вариациях [img: http://localhost:8080/file/052114-142.jpg] системы (3) (вдоль нулевого решения) экспоненциально устойчиво (Ляпунова характеристические показатели системы (4) равны - а, 1-2а), но при [img: http://localhost:8080/file/052114-143.jpg] нулевое решение системы (3) неустойчиво. Однако устойчивость по первому приближению типична в смысле, разъясняемом ниже. Пусть S- множество диффеоморфизмов f евклидова пространства Е п на себя, имеющих равномерно непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-144.jpg] Для всякого диффеоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052114-145.jpg] через Sj обозначается множество диффеоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/052114-146.jpg] удовлетворяющих неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-147.jpg] в множестве Sj задается расстояние [img: http://localhost:8080/file/052114-148.jpg] При всяком [img: http://localhost:8080/file/052114-149.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052114-150.jpg] имеется всюду плотное множество Dj типа [img: http://localhost:8080/file/052114-151.jpg] обладающее свойством: если для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/052114-152.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-153.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-154.jpg] то найдется окрестность Uточки (f, х)в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052114-155.jpg] такая, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-156.jpg] точка уэкспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма g. Для динамич. систем, заданных на компактном дифференцируемом многообразии, аналогичная теорема формулируется проще и является дифференциально-топологически инвариантной. Пусть Vn - замкнутое дифференцируемое многообразие. Множество Sвсех диффеоморфизмов f класса С 1,отображающих Vn на Vn, наделяется С 1 -топологией. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/052114-157.jpg] имеется всюду плотное множество Dтипа [img: http://localhost:8080/file/052114-158.jpg] обладающее свойством: если для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/052114-159.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-160.jpg] выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/052114-161.jpg] то найдется окрестность Uточки (f, х)в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052114-162.jpg] такая, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-163.jpg] точка уэкспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма g. Понятия У. по Л., асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости были введены А. М. Ляпуновым [1], разработавшим методы исследования устойчивости, понимаемой в смысле этих определений (см. также Ляпунова теория устойчивости).