Устойчивость по пуассону

свойство точки ж (траектории f tx)динамич. системы f t (или [img: http://localhost:8080/file/052114-164.jpg] см. [2]). заданной на топологич. пространстве S. состоящее в следующем: найдутся последовательности [img: http://localhost:8080/file/052114-165.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/052114-166.jpg] Иными словами, хявляется [img: http://localhost:8080/file/052114-167.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052114-168.jpg] -предельной точкой траектории f tx. Понятие У. по П. введено А. Пуанкаре (Н. Poincare. [1]) на основе анализа результатов С. Пуассона (S. Poisson) но устойчивости планетных орбит. Всякая точка, устойчивая по Пуассону,- неблуждающая; обратное неверно (см. Блуждающая точка). Всякая неподвижная и всякая периодич. точка, вообще всякая рекуррентная точка, устойчивы по Пуассону. Если [img: http://localhost:8080/file/052114-169.jpg] и динамич. система гладкая (т. е. задана векторным полем класса С 1),то всякая точка, устойчивая по Пуассону, является либо неподвижной, либо периодической. Теорема Пуанкаре о возвращении: если динамич. система задана на ограниченной области пространства [img: http://localhost:8080/file/052114-170.jpg] и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то устойчивы по Пуассону все точки, кроме точек нек-рого множества первой категории меры нуль (см. [1], [3]). Обобщением этой теоремы на динамич. системы, заданные на пространстве бесконечной меры, является теорема Хопфа о возвращении (см. [2]): если динамич. система задана на произвольной области пространства [img: http://localhost:8080/file/052114-171.jpg] (напр., на всем [img: http://localhost:8080/file/052114-172.jpg] и лебегова мора является инвариантной мерой системы, то каждая точка х, кроме точек нек-рого множества меры нуль, или устойчива по Пуассону или является уходящей, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052114-173.jpg] Имеются и более общие формулировки теорем Пуанкаре и Хопфа (см. [2]).