Устойчивость характеристических показателей

- свойство Ляпунова характеристических показателей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/052115-70.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052115-71.jpg] - непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/052115-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052115-73.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052115-74.jpg] удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/052115-75.jpg] Говорят, что характеристич. показатели Ляпунова системы (1) устойчивы, если каждая из функций [img: http://localhost:8080/file/052115-76.jpg] непрерывна в точке А. Здесь [img: http://localhost:8080/file/052115-77.jpg] - характеристич. показатели Ляпунова системы (1), a Mn - множество систем (1), наделенное структурой метрнч. пространства заданием расстояния [img: http://localhost:8080/file/052115-78.jpg] (для удобства система (1) отождествляется с отображением [img: http://localhost:8080/file/052115-79.jpg] причем вместо [img: http://localhost:8080/file/052115-80.jpg] пишется А). Были обнаружены (см. [2], [3]) системы (1) с неустойчивыми характеристич. показателями. Напр., характеристич. показатели системы. [img: http://localhost:8080/file/052115-81.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052115-82.jpg] неустойчивы, т. к. при [img: http://localhost:8080/file/052115-83.jpg] ее старший характеристич. показатель [img: http://localhost:8080/file/052115-84.jpg] а при [img: http://localhost:8080/file/052115-85.jpg] показатель [img: http://localhost:8080/file/052115-86.jpg] и не зависит от [img: http://localhost:8080/file/052115-87.jpg] Для устойчивости характеристич. показателей достаточно, чтобы выполнялось интегральной разделенности условие (теорема Перрона). Множество систем (1), удовлетворяющих этому условию, совпадает с внутренностью (в пространстве М п)множества всех систем (1) с устойчивыми характеристич. показателями. Если [img: http://localhost:8080/file/052115-88.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/052115-89.jpg] или A(t+T)=A(t)при всех [img: http://localhost:8080/file/052115-90.jpg] (при нек-ром T>0) (т. е. система (1) имеет постоянные или периодич. коэффициенты), то характеристич. показатели системы (1) устойчивы. Если [img: http://localhost:8080/file/052115-91.jpg] - почтп периодич. отображение (см. Линейная система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами),то для У. х. п. системы (1) необходимо и достаточно, чтобы система (1) была почти приводима. Для того чтобы характеристич. показатели системы (1) были устойчивы, достаточно, чтобы нашлось Ляпунова преобразование, приводящее систему (1) к клеточно-диагональному виду [img: http://localhost:8080/file/052115-92.jpg] такому, что: а) клетки интегрально разделены, т. е. найдутся числа d>0, a>0 такие, что [img: http://localhost:8080/file/052115-93.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052115-94.jpg] i=l,..., m-1 (здесь [img: http://localhost:8080/file/052115-95.jpg] - Коши оператор системы (2)); б) верхний и нижним центральные показатели, системы (2) равны друг другу: [img: http://localhost:8080/file/052115-96.jpg] при всяком i = l,..., m. Условия этой теоремы являются и необходимыми условиями У. х. п. системы (1) (см. [6]). Системы с неустойчивыми характеристич. показателями могут обладать свойством стохастической У. х. п. Характеристич. показатели системы (1) наз. стохастически устойчивыми (или устойчивыми почти наверное), если при [img: http://localhost:8080/file/052115-97.jpg] характеристич. показатели Ляпунова системы [img: http://localhost:8080/file/052115-98.jpg] стремятся с вероятностью 1 к характеристич. показателям Ляпунова системы (1); здесь элементы матрицы, задающей линейные операторы [img: http://localhost:8080/file/052115-99.jpg] (в нек-ром- не зависящем от [img: http://localhost:8080/file/052115-100.jpg] -базисе пространства [img: http://localhost:8080/file/052115-101.jpg] суть независимые ненулевые белые шумы. Если отображение [img: http://localhost:8080/file/052115-102.jpg] равномерно непрерывно и [img: http://localhost:8080/file/052115-103.jpg] то для почти всякого отображения [img: http://localhost:8080/file/052115-105.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052115-104.jpg] характеристич. показатели системы [img: http://localhost:8080/file/052115-106.jpg] стохастически устойчивы (для сдвигов динамической системы [img: http://localhost:8080/file/052115-107.jpg] рассматривают нормированную инвариантную меру, сосредоточенную на замыкании траектории точки [img: http://localhost:8080/file/052115-108.jpg] под почти всяким [img: http://localhost:8080/file/052115-109.jpg] понимается почти всякое [img: http://localhost:8080/file/052115-110.jpg] в смысле всякой такой меры). Пусть динамич. система на гладком замкнутом многообразии Vn задана гладким векторным полем. Тогда для почтп всякой (в смысле всякой нормированной инвариантной меры) точки [img: http://localhost:8080/file/052115-111.jpg] характеристич. показатели системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки хстохастически устойчивы.