Финитная функция

- функция, определенная в нек-рой области пространства Е n и имеющая принадлежащий к этой области компактный носитель. Точнее, пусть функция f(х)= f(x1,..., х п)определена на области [img: http://localhost:8080/file/052205-124.jpg] Носителем f наз. замыкание множества точек х [img: http://localhost:8080/file/052205-125.jpg] для к-рых f(х)отлично от нуля [img: http://localhost:8080/file/052205-126.jpg] Таким образом, можно еще сказать, что Ф. ф. в [img: http://localhost:8080/file/052205-127.jpg] есть такая определенная на [img: http://localhost:8080/file/052205-128.jpg] функция, что ее носитель L есть замкнутое ограниченное множество, отстоящее от границы Г области [img: http://localhost:8080/file/052205-129.jpg] на расстоянии большем, чем [img: http://localhost:8080/file/052205-130.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052205-131.jpg] достаточно мало. Обычно рассматривают непрерывно дифференцируемые kраз Ф. ф., где k - заданное натуральное число. Еще чаще рассматривают бесконечно дифференцируемые Ф. ф. Функция [img: http://localhost:8080/file/052205-132.jpg] может служить примером бесконечно дифференцируемой Ф. ф. в области [img: http://localhost:8080/file/052205-133.jpg] содержащей в себе шар [img: http://localhost:8080/file/052205-134.jpg] Множество всех бесконечно дифференцируемых Ф. ф. в области [img: http://localhost:8080/file/052205-135.jpg] обозначают D. Над Dопределяют линейные функционалы (обобщенные функции). При помощи функций [img: http://localhost:8080/file/052205-136.jpg] определяют обобщенные решения краевых задач. В теоремах, посвященных задачам на нахождение обобщенных решений, часто важно знать, является ли пространство Dплотным в нек-ром конкретно заданном пространстве функций. Известно, напр., что если граница Г ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/052205-137.jpg] достаточно гладкая, то Dплотно в пространстве функций [img: http://localhost:8080/file/052205-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052205-139.jpg] т. е. в пространстве функций класса [img: http://localhost:8080/file/052205-140.jpg] Соболева, равных нулю на Г вместе со своими нормальными производными до порядка r - 1 включительно (r=1,2,...).