Форма

алгебраической группы G, определенной над полем k, - алгебраич. группа G', определенная над. и изоморфная группе Gнад нек-рым расширением. ноля k. В этом случае G' наз. L/k- формой алгебраич. группы G. Если ks - сепарабельное замыкание поля. в фиксированном основном алгебраически замкнутом поле. (универсальной области), то ks/k- формы наз. просто k-формами группы G. Две L/k- формы группы наз. эквивалентными, если они изоморфны над k. Множество всех классов эквивалентных L/k- форм группы Gобозначается через E(L/k, G)(в случае L=ks - через E(k, G))(см. [5],[7],[8]). Пример. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052207-67.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052207-68.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052207-69.jpg] - две определенные над. подгруппы полной линейной группы GL(2), тогда G' является k-формой. (соответствующий определенный над Кизоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052207-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052207-71.jpg] задается формулой [img: http://localhost:8080/file/052207-72.jpg] Эта k-форма не эквивалентна G (если рассматривать Gкак свою собственную k-форму относительно тождественного изоморфизма G -> G). В рассмотренном примере множество Е(k, G)состоит из двух элементов, представленных указанными двумя k-формами. Задача классификации Ф. алгебраич. групп естественно переформулируется на языке Галуа когомологий;[3, 5]. А именно, пусть L/k- расширение Галуа с группой Галуа Г L/k (снабженной топологией Крулля). Группа Г L/k естественно действует на группе AutLG всех L-автоморфизмов группы G, а также на множестве всех L-изоморфизмов группы G' в группу G (в координатах эти действия сводятся к применению автоморфизмов из Г L/k к коэффициентам рациональных функций, определяющих соответствующее отображение). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052207-73.jpg] -нек-рый L-изоморфизм, [img: http://localhost:8080/file/052207-74.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052207-75.jpg] -образ [img: http://localhost:8080/file/052207-76.jpg] под действием [img: http://localhost:8080/file/052207-77.jpg] Тогда отображение [img: http://localhost:8080/file/052207-78.jpg] является непрерывным 1-коциклом группы Г L/k со значениями в дискретной группе AutLG. При замене j на другой L-изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052207-79.jpg] указанный коцикл заменяется на когомологичный. Тем самым возникает отображение [img: http://localhost:8080/file/052207-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052207-81.jpg] Основное утверждение о когомологич. интерпретации задачи описания Ф. группы G состоит в том, что это отображение биективно. В случае когда все автоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/052207-82.jpg] внутренние, G' наз. внутренней формой группы G, а в противном случае - внешней. Для связных редуктивных групп имеется глубоко развитая теория Ф. В ней устанавливаются относительные варианты структурной теории редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: k-корни, k-группа Вейля, разложение Брюа над. и т. п.; при этом роль максимальных торов играют максимальные k-разложимые торы, а роль борелевских подгрупп - минимальные k-параболич. подгруппы [1, 2, 6, 7]. Эта теория позволяет свести вопрос о классификации Ф. к классификации анизотропных над kредуктивных групп (см. Анизотропная группа, Анизотропное ядро);вопрос о классификации последних существенно зависит от свойств поля k. Если [img: http://localhost:8080/file/052207-83.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052207-84.jpg] то описание Ф. полупростых алгебраич. групп - это описание вещественных Ф. комплексных полупростых алгебраич. групп (см. Комплексификация группы Ли).