Формальный степенной ряд

над кольцом Аот коммутирующих переменных T1,..., Т п - алгебраич. выражение вида [img: http://localhost:8080/file/052208-28.jpg] где Fk - форма от T1,..., Т п с коэффициентами из Астепени k. Минимальное значение k, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/052208-29.jpg] наз. порядком ряда F, а форма Fk наз. начальной формой ряда. Если [img: http://localhost:8080/file/052208-30.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052208-31.jpg] - два Ф. с. р., то, по определению, [img: http://localhost:8080/file/052208-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052208-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052208-34.jpg] Относительно этих операций множество.[[T1,..., Т п]]всех Ф. с. р. образует кольцо. Многочлен [img: http://localhost:8080/file/052208-35.jpg] где Fk- форма степени k, отождествляется с Ф. с. р. [img: http://localhost:8080/file/052208-36.jpg] где Ck=Fk при [img: http://localhost:8080/file/052208-37.jpg] и Ck =0 при k>n. Это определяет вложение i кольца многочленов А[ Т 1..... Т п] в кольцо А[[Т 1,..., Tn]]. В кольцо А[[Т 1,..., Tn]] определена топология, для к-рой идеалы [img: http://localhost:8080/file/052208-38.jpg] образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо А[[Т 1...., Tn]]полно относительно этой топологии, и образ вложения i всюду плотен в А[[Т 1,..., Tn]].Относительно этой топологии Ф. с. p.. является пределом своих частичных сумм [img: http://localhost:8080/file/052208-39.jpg] Пусть А- коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо A[[Т 1,..., Tn]].Если А-область целостности, то и A[[Т 1,..., Tn]]. область целостности. Ф. с. p. Fобратим в кольце А[[Т 1...., Tn]]тогда и только тогда, когда РД обратим в А. Если А - нётерово, то и A[[Т 1...., Tn]]также нётерово. Если А - локальное кольцо с максимальным идеалом m, TO A[[Т 1...., Tn]]-локальное кольцо с максимальным идеалом ([img: http://localhost:8080/file/052208-40.jpg] Т 1,..., Tn). Если локальное кольцо Аотделимо и полно в [img: http://localhost:8080/file/052208-41.jpg] адической топологии, то в кольце A[[Tlt..., Tn справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть F - Ф. с. р. такой, что для нек-рого kформа Fk содержит член [img: http://localhost:8080/file/052208-42.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052208-43.jpg] и пусть k- минимальный индекс с этим свойством. Тогда F=UP, где U- обратимый Ф. с. р. и Р- многочлен вида [img: http://localhost:8080/file/052208-44.jpg] где коэффициенты а i принадлежат максимальному идеалу кольца А[[Т 1,..., Tn]]. Элементы Uи Роднозначно определены рядом F. Кольцо Ф. с. р. над полем или дискретно нормированным кольцом факториально. Рассматриваются также кольца Ф. с. р. от некоммутирующих переменных.