Фредгольма альтернатива

- альтернативное утверждение, вытекающее из Фредгольма теорем. В случае линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/052209-61.jpg] Ф. а. утверждает: либо уравнение (1) и сопряженное с ним уравнение [img: http://localhost:8080/file/052209-62.jpg] имеют единственные решения [img: http://localhost:8080/file/052209-63.jpg] каковы бы ни были известные функции f g, либо соответствующие однородные уравнения [img: http://localhost:8080/file/052209-64.jpg] имеют ненулевые решения, причем число линейно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравнений. Во втором случае для того чтобы уравнение (1) имело решение, необходимо и достатoчно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/052209-65.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052209-66.jpg] -полная система линейно независимых решений уравнения (2'). При этом общее решение уравнения (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052209-67.jpg] где j k -какое-нибудь решение уравнения (1). [img: http://localhost:8080/file/052209-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-69.jpg] - полная система линейно независимых решений уравнения (1'), ck - произвольные постоянные. Сходные утверждения имеют место и для уравнения (2). Пусть Т - непрерывный линейный оператор, отображающий банахово пространство Ев себя; Е*, Т* - соответствующие сопряженные пространство и оператор. Рассматриваются уравнения: [img: http://localhost:8080/file/052209-70.jpg] Справедливость Ф. [img: http://localhost:8080/file/052209-71.jpg] а общее решение уравнения (4) - равенством [img: http://localhost:8080/file/052209-72.jpg] где х* (соответственно g*) - какое-нибудь решение уравнения (3) (уравнения (4)), а с 1..., с n - произвольные постоянные. Каждое из следующих двух условий необходимо и достаточно, чтобы для оператора Тимела место Ф. а. 1) Оператор Тпредставим в форме T=W+V, где W- оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, а V - вполне непрерывный оператор, 2) оператор Тпредставим в форме T=W1+V1. где W1 -оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, а V1 - конечномерный оператор.