Фреше вариация

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция f(x)=f(xl,..., х n) задана на n-мерном параллелепипеде [img: http://localhost:8080/file/052210-124.jpg] и введены обозначения [img: http://localhost:8080/file/052210-125.jpg] Пусть П - произвольное разбиение параллелепипеда Dn гиперплоскостями [img: http://localhost:8080/file/052210-126.jpg] на n-мерные параллелепипеды, а [img: http://localhost:8080/file/052210-127.jpg] могут принимать значения [img: http://localhost:8080/file/052210-128.jpg] произвольным образом. Вариация Фреше определяется так: [img: http://localhost:8080/file/052210-129.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052210-130.jpg] то говорят, что функция f(х)имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на Dn, а класс всех таких функций обозначается через F(Dn). Этот класс при п=2 введен М. Фреше [1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала [img: http://localhost:8080/file/052210-131.jpg] в пространстве непрерывных на квадрате [img: http://localhost:8080/file/052210-132.jpg] функций вида [img: http://localhost:8080/file/052210-133.jpg] Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/052210-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052210-135.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/052210-136.jpg] -периодических функций класса F(Qn) [img: http://localhost:8080/file/052210-137.jpg] справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье [2]. Например, если [img: http://localhost:8080/file/052210-138.jpg] то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции f(x)в каждой точке х = (х 1,..., х п)сходятся к числу [img: http://localhost:8080/file/052210-139.jpg] где суммирование распространяется на. все 2т возможных комбинаций знаков [img: http://localhost:8080/file/052210-140.jpg] При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная (аналог признака Жордана).