Фробениуса автоморфизм

элементгруппы Галуа специального вида, играющий фундаментальную роль в теории нолей классов. Пусть L - алгебраич. расширение конечного поля К. Тогда Ф. а. наз. автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052211-19.jpg] определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/052211-20.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052211-21.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052211-22.jpg] (мощность К). Если L/К-конечное расширение, то [img: http://localhost:8080/file/052211-23.jpg] порождает группу Галуа G(L/K). Для бесконечного расширения L/K автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052211-24.jpg] является топологич. образующей группы G(L/K). Если [img: http://localhost:8080/file/052211-25.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052211-26.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052211-27.jpg] Пусть k - локальное поле с конечным полем вычетов [img: http://localhost:8080/file/052211-28.jpg] а К- неразветвленное расширение поля k. Тогда Ф. а. [img: http://localhost:8080/file/052211-29.jpg] расширений полей вычетов однозначно продолжается до автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052211-30.jpg] наз. Ф. а. неразветвлунного расширения K/k. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052211-31.jpg] -кольцо целых элементов поля К и [img: http://localhost:8080/file/052211-32.jpg] -максимальный идеал в [img: http://localhost:8080/file/052211-33.jpg] Тогда Ф. а. [img: http://localhost:8080/file/052211-34.jpg] однозначно определяется условием [img: http://localhost:8080/file/052211-35.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/052211-36.jpg] Если K/k- произвольное расширение Галуа локальных полей, то Ф. а. расширения K/k иногда называют любой автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052211-37.jpg] индуцирующий на максимальном неразветвленном подрасширении поля А Ф. а. в указанном выше смысле. Пусть K/k - расширение Галуа глобальных полей, [img: http://localhost:8080/file/052211-38.jpg] - простой идеал поля kи [img: http://localhost:8080/file/052211-39.jpg] - нек-рый простой идеал поля К, лежащий над [img: http://localhost:8080/file/052211-40.jpg] И пусть [img: http://localhost:8080/file/052211-41.jpg] но разветвлен в расширении K/k и [img: http://localhost:8080/file/052211-42.jpg] - Ф. а. неразветвленного расширения локальных полей [img: http://localhost:8080/file/052211-43.jpg] Отождествляя группу Галуа [img: http://localhost:8080/file/052211-44.jpg] с подгруппой разложения идеала [img: http://localhost:8080/file/052211-45.jpg] н G(K/k), можно рассматривать [img: http://localhost:8080/file/052211-46.jpg] как элемент группы G(K/k). Этот элемент наз. Ф. а., соответствующим простому идеалу [img: http://localhost:8080/file/052211-47.jpg] Если K/k - конечное расширение, то согласно теореме Чеботарева о плотности для любого автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052211-48.jpg] существует бесконечное число простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/052211-49.jpg] не разветвленных в K/k таких, что [img: http://localhost:8080/file/052211-50.jpg] Для абелева расширения K/k элемент [img: http://localhost:8080/file/052211-51.jpg] зависит только от [img: http://localhost:8080/file/052211-52.jpg] В этом случае [img: http://localhost:8080/file/052211-53.jpg] обозначается через [img: http://localhost:8080/file/052211-54.jpg] и наз. символом Артина простого идеала [img: http://localhost:8080/file/052211-55.jpg]