Фробениуса формула

- формула, выражающая отношение обобщенного определителя Вандермонда к обычному (см. Вандермонда определитель)через степенные суммы. В качестве коэффициентов в Ф. ф. участвуют характеры представлений симметрической группы. Пусть x1,..., х п- независимые переменные. Для любого набора [img: http://localhost:8080/file/052211-56.jpg] неотрицательных целых чисел, удовлетворяющего условию [img: http://localhost:8080/file/052211-57.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/052211-58.jpg] так что W0 есть обычный определитель Вандермонда. И пусть [img: http://localhost:8080/file/052211-59.jpg] тогда набор [img: http://localhost:8080/file/052211-60.jpg] после выкидывания нулей можно рассматривать как разбиение числа т. Рассматривается соответствующее неприводимое представление [img: http://localhost:8080/file/052211-61.jpg] группы S т. Для любого разбиения [img: http://localhost:8080/file/052211-62.jpg] числа тчерез [img: http://localhost:8080/file/052211-63.jpg] обозначается значение характера представления [img: http://localhost:8080/file/052211-64.jpg] на классе сопряженных элементов группы Sm,определяемом разбиением [img: http://localhost:8080/file/052211-65.jpg] и через [img: http://localhost:8080/file/052211-66.jpg] - порядок централизатора любой подстановки из этого класса. Пусть где [img: http://localhost:8080/file/052211-67.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/052211-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052211-69.jpg] где сумма берется по всем (неупорядоченным) разбиениям числа т. При этом, если разбиение m содержит k1 единиц, k2 двоек и т. д., то [img: http://localhost:8080/file/052211-70.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052211-71.jpg] то Ф. ф. может быть преобразована к виду [img: http://localhost:8080/file/052211-72.jpg] где сумма берется по всем разбиениям числа. (дополненным надлежащим числом нулей). Последняя формула может быть использована для вычисления характеров симметрич. группы. А именно, [img: http://localhost:8080/file/052211-73.jpg] есть коэффициент при [img: http://localhost:8080/file/052211-75.jpg] в многочлене [img: http://localhost:8080/file/052211-74.jpg]