Фундаментальная группа

группа Пуанкаре,- первая абсолютная гомотопическая группа [img: http://localhost:8080/file/052212-89.jpg] Пусть / - отрезок [0, 1], [img: http://localhost:8080/file/052212-90.jpg] - его граница. Элементами Ф. г. пунктированного топологич. пространства (X, х0)служат гомотопич. классы замкнутых путей в X, т. е. классы гомотопных rel {0, 1} непрерывных отображений пары [img: http://localhost:8080/file/052212-91.jpg] в (X, x0). Путь s1s2 [img: http://localhost:8080/file/052212-92.jpg] наз. произведением путей s1 и s2. Гомотопич. класс произведения зависит только от классов сомножителей, возникающая операция, вообще говоря, некоммутативна. Единицей служит класс постоянного отображения в x0, обратным к классу [img: http://localhost:8080/file/052212-93.jpg] содержащему путь [img: http://localhost:8080/file/052212-94.jpg] служит класс пути [img: http://localhost:8080/file/052212-95.jpg] Непрерывному отображению [img: http://localhost:8080/file/052212-96.jpg] соответствует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052212-97.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052212-98.jpg] является функтором на категории топологич. пространств в категорию (неабелевых) групп. Для любого пути [img: http://localhost:8080/file/052212-99.jpg] соединяющего точки x1 и х 2. определен изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052212-100.jpg] зависящий только от гомотопич. класса пути [img: http://localhost:8080/file/052212-101.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/052212-102.jpg] действует автоморфизмами на [img: http://localhost:8080/file/052212-103.jpg] в случае п -1 элемент [img: http://localhost:8080/file/052212-104.jpg] действует как внутренний автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052212-105.jpg] Гомоморфизм Гуревича [img: http://localhost:8080/file/052212-106.jpg] является эпиморфизмом с ядром [img: http://localhost:8080/file/052212-107.jpg] (теорема Пуанкаре). Линейно связное топологич. пространство с нулевой Ф. г. наз. односвязным. Ф. г. произведения [img: http://localhost:8080/file/052212-108.jpg] пространств изоморфна прямому произведению Ф. г. сомножителей: [img: http://localhost:8080/file/052212-109.jpg] Пусть (Х, х 0)-линейно связное топологич. пространство, [img: http://localhost:8080/file/052212-110.jpg] - покрытие Xзамкнутой относительно пересечений системой открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/052212-111.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/052212-112.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/052212-113.jpg] -прямой предел диаграммы [img: http://localhost:8080/file/052212-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052212-115.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052212-116.jpg] индуцировано включением [img: http://localhost:8080/file/052212-117.jpg] (теорема Зейферта - Ван Кампена). Напр., если дано покрытие, состоящее из U0, U1, U2. и [img: http://localhost:8080/file/052212-118.jpg] односвязно, то [img: http://localhost:8080/file/052212-119.jpg] есть свободное произведение групп [img: http://localhost:8080/file/052212-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052212-121.jpg] В случае клеточного пространства утверждение теоремы справедливо также для замкнутых клеточных подпространств в X. Для клеточного пространства X, нульмерный остов к-рого состоит из единственной точки х 0,каждая одномерная клетка [img: http://localhost:8080/file/052212-122.jpg] задает образующую Ф. г. [img: http://localhost:8080/file/052212-123.jpg] каждая двумерная клетка [img: http://localhost:8080/file/052212-124.jpg] задает соотношение, отвечающее приклеивающему отображению клетки [img: http://localhost:8080/file/052212-125.jpg] Пусть Xобладает покрытием [img: http://localhost:8080/file/052212-126.jpg] таким, что гомоморфизм включения [img: http://localhost:8080/file/052212-127.jpg] нулевой для любой точки z. Тогда существует накрытие [img: http://localhost:8080/file/052212-128.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/052212-129.jpg] В этом случае группа коммутирующих с ргомеоморфизмов пространства [img: http://localhost:8080/file/052212-130.jpg] на себя (скольжений) изоморфна [img: http://localhost:8080/file/052212-131.jpg] порядок группы [img: http://localhost:8080/file/052212-132.jpg] равен мощности слоя р -1 х 0. Для отображения [img: http://localhost:8080/file/052212-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052212-134.jpg] линейно связных пространств такого, что [img: http://localhost:8080/file/052212-135.jpg] существует поднятие [img: http://localhost:8080/file/052212-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052212-137.jpg] Накрытие [img: http://localhost:8080/file/052212-138.jpg] наз. универсальным.