Функтор

-отображение одной категории в другую, согласованное со структурой категории. Точнее, одноместным ковариантным функтором из категории [img: http://localhost:8080/file/052213-62.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-63.jpg] или, короче, Ф. из [img: http://localhost:8080/file/052213-64.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-65.jpg] наз. пара отображений [img: http://localhost:8080/file/052213-66.jpg] обозначаемых обычно одной и той же буквой, напр. F [img: http://localhost:8080/file/052213-67.jpg] подчиненных условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/052213-68.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/052213-69.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/052213-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-71.jpg] для любых морфизмов [img: http://localhost:8080/file/052213-72.jpg] Ф. из категории [img: http://localhost:8080/file/052213-73.jpg] двойственной категории [img: http://localhost:8080/file/052213-74.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-75.jpg] наз. одноместным контравариантным функтором из [img: http://localhost:8080/file/052213-76.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-77.jpg] Таким образом, для контравариантного Ф. [img: http://localhost:8080/file/052213-78.jpg] по-прежнему должно выполняться условие 1), а вместо условия 2) - условие 2*) [img: http://localhost:8080/file/052213-80.jpg] для любых морфизмов [img: http://localhost:8080/file/052213-79.jpg] n-местным функтором из категорий [img: http://localhost:8080/file/052213-81.jpg]..., [img: http://localhost:8080/file/052213-82.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-83.jpg] ковариантным по аргументам 1 < i1 < i2 <... < ik< пи контравариантным по остальным аргументам, наз. функтор из декартова произведения категорий [img: http://localhost:8080/file/052213-84.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-86.jpg] при i = i1,..., ik и [img: http://localhost:8080/file/052213-87.jpg] при остальных i. Двуместные Ф., ковариантные по обоим аргументам, наз. бифункторами. Примеры функторов. 1) Тождественное отображение произвольной категории [img: http://localhost:8080/file/052213-88.jpg] в себя есть одноместный ковариантный Ф., к-рый наз. тождественным функтором категории и обозначается [img: http://localhost:8080/file/052213-89.jpg] 2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/052213-90.jpg] -произвольная категория, [img: http://localhost:8080/file/052213-91.jpg] -категория множеств, А- фиксированный объект из [img: http://localhost:8080/file/052213-92.jpg] Сопоставление каждому [img: http://localhost:8080/file/052213-93.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/052213-94.jpg] и каждому морфизму [img: http://localhost:8080/file/052213-95.jpg] отображения [img: http://localhost:8080/file/052213-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-98.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/052213-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-100.jpg] является Ф. из [img: http://localhost:8080/file/052213-101.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-102.jpg] Этот Ф. наз. основным ковариантным функтором из [img: http://localhost:8080/file/052213-103.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-104.jpg] с представляющим объектом А. Аналогично, сопоставляя объекту. множество [img: http://localhost:8080/file/052213-105.jpg] и морфизму [img: http://localhost:8080/file/052213-106.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/052213-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-109.jpg] строится основной контравариантный функтор из [img: http://localhost:8080/file/052213-110.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-111.jpg] с представляющим объектом А. Эти Ф. обозначаются Н А и Н А соответственно. Если [img: http://localhost:8080/file/052213-112.jpg] -категория векторных пространств над полем К, то Ф. Н К задает переход от пространства Ек сопряженному пространству линейных функционалов Е*. В категории топологических абелевых групп Ф. HQ, где Q-факторгруппа группы действительных чисел по подгруппе целых чисел, сопоставляет каждой группе ее группу характеров. 3) Сопоставление каждой паре объектов X, Y произвольной категории множества Н(X, Y), а каждой паре морфизмов [img: http://localhost:8080/file/052213-113.jpg] -отображения [img: http://localhost:8080/file/052213-114.jpg] определяемого равенством [img: http://localhost:8080/file/052213-115.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/052213-116.jpg] является двуместным Ф. в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-117.jpg] контравариантным по первому аргументу и ковариантным по второму. В любой категории с конечными произведениями произведение можно рассматривать как n-местный Ф., ковариантный по всем аргументам, при любом натуральном п. Как правило, конструкции, к-рые определяются для любого объекта категории или для любой последовательности объектов фиксированной длины независимо от индивидуальных свойств объектов, являются Ф. Таковы, напр., конструкция свободных алгебр нек-рого многообразия универсальных алгебр, к-рые единообразно сопоставляются каждому объекту категории множеств, конструкция фундаментальной группы топологич. пространства, конструкции групп гомологии и когомологий различных размерностей и т. д. Любой Ф. [img: http://localhost:8080/file/052213-118.jpg] определяет отображение каждого множества [img: http://localhost:8080/file/052213-119.jpg] в множество [img: http://localhost:8080/file/052213-120.jpg] сопоставляя морфизму [img: http://localhost:8080/file/052213-121.jpg] морфизм [img: http://localhost:8080/file/052213-122.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-123.jpg] Ф. Fназ. унивалентным, если все указанные отображения инъективны, и полным, если все эти отображения сюръективны. Для всякой малой категории [img: http://localhost:8080/file/052213-124.jpg] сопоставление [img: http://localhost:8080/file/052213-125.jpg] можно продолжить до полного унивалентного Ф. J из [img: http://localhost:8080/file/052213-126.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-127.jpg] диаграмм со схемой [img: http://localhost:8080/file/052213-128.jpg] над категорией множеств [img: http://localhost:8080/file/052213-129.jpg]