Фурье интеграл

- континуальный аналог Фурье ряда. Для функции, заданной на конечном промежутке действительной оси, важное значение имеет представление ее рядом Фурье. Для функции f(x). заданной на всей оси, аналогичную роль играет разложение f в интеграл Фурье: [img: http://localhost:8080/file/052217-52.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052217-53.jpg] Разложение (1) можно формально строить в предположениях, обеспечивающих существование написанных интегралов. Оно справедливо, напр., для гладкой финитной функции f(x). Имеется большое число признаков, обеспечивающих равенство (1) в том или ином смысле. Подстановка (2) в (1) дает т. н. интегральную формулу Фурье [img: http://localhost:8080/file/052217-54.jpg] обоснование к-рой и приводит к упомянутым признакам. Большую пользу приносит при этом представление f(x)простым интегралом Фурье [img: http://localhost:8080/file/052217-55.jpg] к-рое получается из (3), если записать внешний интеграл как предел по интервалу (0, N)и поменять порядок интегрирования. В прикладных науках представление (1) часто интерпретируется как разложение по гармоникам: если [img: http://localhost:8080/file/052217-56.jpg] то (1) принимает вид: [img: http://localhost:8080/file/052217-57.jpg] и таким образом f представляется в виде суперпозиции гармоник, частоты [img: http://localhost:8080/file/052217-58.jpg] к-рых непрерывно заполняют действительную полуось [img: http://localhost:8080/file/052217-59.jpg] а амплитуда Dи начальная фаза [img: http://localhost:8080/file/052217-60.jpg] зависят от [img: http://localhost:8080/file/052217-61.jpg] Во многих случаях (в частности, для комплексно-значных функций f) разложение (1) удобнее представлять в экспоненциальной форме: [img: http://localhost:8080/file/052217-62.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052217-63.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/052217-64.jpg] именуется при этом Фурье преобразованием функции f (в прикладных науках С(l) наз. [img: http://localhost:8080/file/052217-70.jpg] суммируемой функции f(x) сходятся к f(x) почти всюду и в среднем при [img: http://localhost:8080/file/052217-71.jpg] При наличии дополнительных ограничений на функцию f(x) получаются более конкретные утверждения. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/052217-72.jpg] и имеет ограниченную вариацию в окрестности х, то [img: http://localhost:8080/file/052217-73.jpg] В приложениях часто используется разложение [img: http://localhost:8080/file/052217-74.jpg] верное для кусочно гладкой в каждом конечном интервале абсолютно интегрируемой функции f(x), где интеграл справа понимается в смысле главного значения (6). Ф. и. изучается также в предположении локальной суммируемости функции f и при тех или иных требованиях, накладывающих ограничения на поведение f в [img: http://localhost:8080/file/052217-75.jpg] Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/052217-76.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/052217-77.jpg] где предел понимается в смысле сходимости в среднем порядка [img: http://localhost:8080/file/052217-78.jpg] [однако предел в (7) существует и в смысле сходимости почти всюду]. Простую форму приобретает этот результат при р = 2 (см. Планшереля теорема). Аналогично строится теория кратных Ф. и., когда речь идет о разложении функции, заданной в n-мерном пространстве. Понятие Ф. и. распространяется также и на обобщенные функции.