Фурье метод

метод разделения переменных,- метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/052217-225.jpg] где M(N) - линейные дифференциальные выражения, содержащие производные только но переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Функция [img: http://localhost:8080/file/052217-226.jpg] будет решением уравнения (1), если существует такая константа [img: http://localhost:8080/file/052217-227.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052217-228.jpg] Напр., для уравнения колебаний струны [img: http://localhost:8080/file/052217-229.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-230.jpg] и решение (2) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/052217-231.jpg] где с i, [img: http://localhost:8080/file/052217-232.jpg] - произвольные постоянные и [img: http://localhost:8080/file/052217-233.jpg] В полуполосе [img: http://localhost:8080/file/052217-234.jpg] при с 1=0, [img: http://localhost:8080/file/052217-235.jpg] 2,..., решения (5) удовлетворяют краевому условию [img: http://localhost:8080/file/052217-236.jpg] Составленный из этих функций ряд [img: http://localhost:8080/file/052217-237.jpg] доставляет решение начально-краевой задачи (4), (6) и [img: http://localhost:8080/file/052218-1.jpg] если а п и пb п являются коэффициентами Фурье [img: http://localhost:8080/file/052218-2.jpg] от достаточно гладких начальных данных [img: http://localhost:8080/file/052218-3.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052218-4.jpg] Аналогичным образом можно получать решения начально-краевых задач для более общих классов уравнений (1), при этом роль теории рядов Фурье, связанных с разложением (7), играет спектральная теория линейных операторов. Ф. м. тесно связан со специальными функциями, к-рые являются решениями уравнений (3) при т=n=1 для частных случаев операторов Ми N, многие из этих функций первоначально возникли таким способом. Напр., при применении этого метода к уравнению Гельмгольца uxx+uyy+и = 0, записанного в полярных координатах в виде (1) с [img: http://localhost:8080/file/052218-5.jpg] первое уравнение в (3) является уравнением Бесселя. Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в к-рых оно допускает разделение переменных, т. е. приводится к виду (1). Задача разыскания таких систем координат тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классич. уравнений математич. физики (Лапласа, Гельмгольца, Шрёдингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж. Д'Аламбером (J. D'Alembert, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в нач. 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828.